Da du den Begriff Basis nennst geh ich mal davon aus, dass du lineare Abbildungen meinst wie z.B \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, f(x)  = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1  \end{pmatrix} x \).

Dann ist das Bild von \(f\) ist sowas wie die Wertemenge, hier also alle Vektoren in \(\mathbb{R}^2\).

Der Kern von \(f\) sind alle Vektoren \(x'\) die auf den \(0\)-Vektor abbilden mit \(f(x')\). Hier gilt das nur fuer \(x' = \begin{pmatrix}0 \\ 0  \end{pmatrix}\), also ist dieses \(x'\) der Kern von \(f\).

Die Basis eines Vektorraums ist ein minimales Erzeugendensystems dieses Raumes. Z.B. in \(\mathbb{R}^2\) ist eine moegliche Basis \(\{\begin{pmatrix}1 \\ 0  \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1  \end{pmatrix} \}\),  da Linearkombination mit diesen zwei vektoren alle Vektoren in \(\mathbb{R}^2\) erzeugt werden koennen.

\(\{\begin{pmatrix}1 \\ 0  \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1  \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1  \end{pmatrix} \}\) wuerde zwar auch alle vektoren darstellen koennen, ist aber keine basis da der vektor \(\begin{pmatrix}1 \\ 1  \end{pmatrix}\) redundant ist.

Die Dimension von einem Vektorraum ist die mindest Anzahl an Vektoren, die man braucht um den Vektorraum zu spannen, also die Anzahl von Basisvektoren. Z.b. in \(\mathbb{R}^2\) ist die Dimension 2 da man nur zwei Vektoren braucht um per Linearkombination dieser 2 Vektoren alle Vektoren darstellen zu koennen.