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Hallo,
es geht hier eher um den Sachzusammenhang. Ein Extremum beschreibt das Maximum/Minimum der Funktion. Für eine Geschwindigkeit ist das noch am einfachsten zu verstehen. Hier fährt man am schnellsten bzw am langsamsten. Bei den Wendestellen der Geschwindigkeit hat man die stärkste Beschleunigung bzw die geringste Beschleunigung.
Für den Weg ist das dann ziemlich analog. Eine Strecke ist eine Entfernung von einem Startpunkt. Das Vorzeichen der Strecke kann als Richtung interpretiert werden. Bei der Strecke stelle dir mal einen Graphen vor und denke dir eine Hügellandschaft. Was könnten Hoch und Tiefpunkt sein? Was könnten dann die Wendepunkte sein?
Ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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ja genau. Wenn wir uns vorstellen das wir uns auf der Höhe des Meeresspiegels befinden dann laufen wir einen Berg hoch. Wenn der Graph dann wieder runter geht nähern wir uns wieder dem Meeresspiegel.
In diesem Kontext kann der Graph auch ins negative gehen. Dort wären wir dann unterhalb vom Meeresspiegel, in einer Schlucht oder so :p
Also im Großen und Ganzen ist es die Entfernung zum Startpunkt.
Das Maximum ist also wie du richtig sagst die größte Entfernung. Beim Minimum müssen wir etwas aufpassen. Wenn das Minimum negativ ist, dann kann das Minimum auch eine maximale Entfernung sein, nur in eine andere Richtung.
Bei lokalen und globalen Extrema müssen wir auch nochmal etwas aufpassen. Es kommt eben immer sehr stark auf den Kontext an.
Mal ein anderer Kontext. Ich beziehe mich dabei auf deine Funktion:
Wir befinden uns im Straßenverkehr und wollen mit dem Auto ein Ziel erreichen. Wir drüfen unsere Ausfahrt nur in eine Richtung verlassen und ein U-Turn ist verboten. Das blöde ist, wir wollen eigentlich in die Richtung in die wir anfänglich nicht dürfen. Die positiven Funktionswerte stehen für die Richtung in die wir anfänglich dürfen. Die negativen für die Richtung in die wir wollen.
Nun müssen wir zuerst der Straße in die falsche Richtung folgen (der Graph steigt an weil wir uns in die positiv gewählte Richtung vom Startwert entfernen). Am Ende der Straße dürfen wir endlich einen U-Turn machen und fahren die gleiche Straße zurück nur endlich in die Richtung in die wir wollen.
Genau dort wo wir den U-Turn gemacht haben, haben wir ein lokales Maximum, denn bezogen auf die Umgebung sind wir bei allen anderen Punkten näher am Startwert.
Wir fahren jetzt quasi wieder an unserem Haus vorbei (Nullstelle, denn wir haben hier die Entfernung 0 vom Startwert). Jetzt können wir aber endlich weiter in die Richtung fahren in die wir müssen. Der Funktionswert wird jetzt negativ, da eine Strecke aber im Sachzusammenhang nicht negativ sein kann, bedeutet dass nur das wir uns wieder vom Startpunkt entfernen, allerdings in eine andere Richtung.
Wir können uns die Streck auch als Höhenstrecke (wie in meiner Antwort vorstellen).
Wir sind im Urlaub. Wir wollen gerne tauchen gehen. Unser Hotel befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels. Das große Problem, Papa hat nicht richtig recherchiert und wir sehen vom Hotel schon das wir über eine große Düne müssen um zum Meer zu kommen.
Wir laufen also los. Wir steigen die Düne hoch bis wir ganz oben sind (lokaler Hochpunkt). Dann geht es weiter runter bis zum Meer. Da wir wieder am Meeresspiegel angekommen sind, ist die Höhe Null (Nullstelle). Nun können wir endlich tauchen gehen, deshalb geht der Graph ins negative weil die Strecke unterhalb vom Startwert ist.
Ich hoffe die beiden Beispiele machen klar wie wichtig der Kontext ist.
Nun müssen wir aber noch die Frage beantworten, wofür die Wendepunkte stehen? Kommst du drauf? ─ christian_strack 15.06.2020 um 14:43
In diesem Kontext kann der Graph auch ins negative gehen. Dort wären wir dann unterhalb vom Meeresspiegel, in einer Schlucht oder so :p
Also im Großen und Ganzen ist es die Entfernung zum Startpunkt.
Das Maximum ist also wie du richtig sagst die größte Entfernung. Beim Minimum müssen wir etwas aufpassen. Wenn das Minimum negativ ist, dann kann das Minimum auch eine maximale Entfernung sein, nur in eine andere Richtung.
Bei lokalen und globalen Extrema müssen wir auch nochmal etwas aufpassen. Es kommt eben immer sehr stark auf den Kontext an.
Mal ein anderer Kontext. Ich beziehe mich dabei auf deine Funktion:
Wir befinden uns im Straßenverkehr und wollen mit dem Auto ein Ziel erreichen. Wir drüfen unsere Ausfahrt nur in eine Richtung verlassen und ein U-Turn ist verboten. Das blöde ist, wir wollen eigentlich in die Richtung in die wir anfänglich nicht dürfen. Die positiven Funktionswerte stehen für die Richtung in die wir anfänglich dürfen. Die negativen für die Richtung in die wir wollen.
Nun müssen wir zuerst der Straße in die falsche Richtung folgen (der Graph steigt an weil wir uns in die positiv gewählte Richtung vom Startwert entfernen). Am Ende der Straße dürfen wir endlich einen U-Turn machen und fahren die gleiche Straße zurück nur endlich in die Richtung in die wir wollen.
Genau dort wo wir den U-Turn gemacht haben, haben wir ein lokales Maximum, denn bezogen auf die Umgebung sind wir bei allen anderen Punkten näher am Startwert.
Wir fahren jetzt quasi wieder an unserem Haus vorbei (Nullstelle, denn wir haben hier die Entfernung 0 vom Startwert). Jetzt können wir aber endlich weiter in die Richtung fahren in die wir müssen. Der Funktionswert wird jetzt negativ, da eine Strecke aber im Sachzusammenhang nicht negativ sein kann, bedeutet dass nur das wir uns wieder vom Startpunkt entfernen, allerdings in eine andere Richtung.
Wir können uns die Streck auch als Höhenstrecke (wie in meiner Antwort vorstellen).
Wir sind im Urlaub. Wir wollen gerne tauchen gehen. Unser Hotel befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels. Das große Problem, Papa hat nicht richtig recherchiert und wir sehen vom Hotel schon das wir über eine große Düne müssen um zum Meer zu kommen.
Wir laufen also los. Wir steigen die Düne hoch bis wir ganz oben sind (lokaler Hochpunkt). Dann geht es weiter runter bis zum Meer. Da wir wieder am Meeresspiegel angekommen sind, ist die Höhe Null (Nullstelle). Nun können wir endlich tauchen gehen, deshalb geht der Graph ins negative weil die Strecke unterhalb vom Startwert ist.
Ich hoffe die beiden Beispiele machen klar wie wichtig der Kontext ist.
Nun müssen wir aber noch die Frage beantworten, wofür die Wendepunkte stehen? Kommst du drauf? ─ christian_strack 15.06.2020 um 14:43
Edit: wichtig ist, das der \( x \)-Wert in beiden Kontexten für die Zeit steht und ich den Graphen nur rechts vom Nullpunkt betrachte, da negative Zeit je nach Kontext keinen Sinn macht.
Natürlich können wir den Startwert wählen. Sagen wir sind schon auf einer Reise einen großen Berg hinunter. Das haben wir schon geschafft, deshalb ist diese Strecke auch bezogen auf die negative \( x \)-Achse (negative Zeit = vergangene Zeit). ─ christian_strack 15.06.2020 um 14:46
Natürlich können wir den Startwert wählen. Sagen wir sind schon auf einer Reise einen großen Berg hinunter. Das haben wir schon geschafft, deshalb ist diese Strecke auch bezogen auf die negative \( x \)-Achse (negative Zeit = vergangene Zeit). ─ christian_strack 15.06.2020 um 14:46
Und ich sehe jetzt erst das ich mich verlesen habe. Dort steht Zusammenhang und nicht Sachzusammenhang..
Das tut mir Leid aber ich denke es könnte trotzdem interessant sen was ich oben geschrieben habe :D
Du hast Recht das die Extrema von \( a(t) \) die Wendepunkte von \( v(t) \) sind. Allerdings gibt es keine Bezeichnung für die Nullstellen der dritten Ableitung. Also haben die Wendepunkte von \( a(t) \) schon keine wirkliche Bedeutung mehr für \( v(t) \). Für \( s(t) \) haben weder die Extrema noch die Wendepunkte von \( a(t) \) eine wirkliche Bedeutung.
Man könnte vielleicht noch sagen, dass die Wendepunkte von \( a(t) \) die maximale/minimale Krümmung von \( v(t) \) beschreiben. Und die Extrema von \( a(t) \) sind die maximale/minimale Krümmung von \( s(t) \).
Ich hoffe ich konnte dir helfen :) ─ christian_strack 15.06.2020 um 15:17
Das tut mir Leid aber ich denke es könnte trotzdem interessant sen was ich oben geschrieben habe :D
Du hast Recht das die Extrema von \( a(t) \) die Wendepunkte von \( v(t) \) sind. Allerdings gibt es keine Bezeichnung für die Nullstellen der dritten Ableitung. Also haben die Wendepunkte von \( a(t) \) schon keine wirkliche Bedeutung mehr für \( v(t) \). Für \( s(t) \) haben weder die Extrema noch die Wendepunkte von \( a(t) \) eine wirkliche Bedeutung.
Man könnte vielleicht noch sagen, dass die Wendepunkte von \( a(t) \) die maximale/minimale Krümmung von \( v(t) \) beschreiben. Und die Extrema von \( a(t) \) sind die maximale/minimale Krümmung von \( s(t) \).
Ich hoffe ich konnte dir helfen :) ─ christian_strack 15.06.2020 um 15:17
Vielen Dank!!! Die Beispiele sind super fürs Verständnis!! ;)
─
skylersunshine2002
15.06.2020 um 16:27
Das freut mich zu hören :) sehr gerne.
─
christian_strack
16.06.2020 um 00:17
Wären in Ihrem Beispiel der Hügellandschaft die Hochpunkte jene Punkte an denen ich am meisten Abstand zum Startpunkt habe?
Und wie sähe es bei der Funktion f(x)=-x^3+x aus?
Grüße Sarah ─ skylersunshine2002 15.06.2020 um 10:15