Hallo,
Die intuitiven Vektorräume sind der \( \mathbb{R} , \mathbb{R}^2 \) und \( \mathbb{R}^3 \), denn in denen beschreiben wir Bewegungen unserer Anschauung.
Die Elemente dieser Vektorräume können wir uns als Pfeile vorstellen. Wenn wir mathematisch solche Objekte unserer Anschauung beschreiben, kann es aber sein das sich Objekte finden die ebenfalls diese mathematische Struktur erfüllen aber uns nicht direkt etwas liefert das man sich gut vorstellen kann.
Solche Objekte sind zum Beispiel auch bestimmte Funktionen. Es gibt wie in der anderen Frage gesagt den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall \( [a,b] \) (\( \mathcal{C}[a,b] \)). Es gibt den Raum der stetig n-mal differenzierbaren Funktionen die auch einen Vektorraum bilden \( \mathcal{C}^n \). Ein weiterer Funktionentyp die einen Vektorraum aufspannen sind Polynome vom Grad kleiner gleich \( n \), nämlich den \( \mathcal{P}_n \).
Doch was bringt uns das, dass diese Funktionen die mathematische Idee eines Vektorraums erfüllen?
Vor allem in den Bereichen Numerik oder Funktionalanalysis werden die Methoden der linearen Algebra genutzt um Funktionen auf bestimmte Eigenschaften zu untersuchen.
Wir können beispielsweise eine Basis nutzen um bestimmte Eigenschaften nachzuweisen und dann die Linearkombination dieser Basisvektoren nutzen um leicht zu zeigen das diese Eigenschaften für alle Funktionen dieses Funktionenraums (Vektorraums) gelten.
Bei der Interpolation von Funktionen werden auch besonders gut geeignete Basispolynome genutzt um diese so zu drehen , so zu projezieren oder ähnliches damit wir ein Polynom erhalten das besonders gut den Verlauf durch gegebene Stützstellen beschreibt.
Ok das am Rande. Nun sind lineare Abbildungen, Abbildungen von einem Vektorraum in einen anderen Vektorraum. Deshalb existieren auch lineare Abbildungen die von einen Funktionenraum in einen anderen Vektorraum abbilden. Was diese Abbildung bedeutet sei jetzt erstmal dahingestellt :p
Jede lineare Abbildung kann durch eine Matrix beschrieben werden. Die Abbildungsmatrix hängt von der Basis ab, von der wir und in die wir abbilden. Das heißt zwei unterschiedliche Matrizen können die selbe Art von Abbildung beschreiben bzgl einer anderen Basis (solche Matrizen nennt man übrigens ähnlich zueinander).
Eine Abbildung \( \varphi : V \to W \) mit der Basis \( \mathcal{A} \) von \( V \) und \( \mathcal{B} \) von \( W\) beschreibt man durch die Abbildungsmatrix \( \mathcal{l}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} \).
Eine Abbildungsmatrix hat als Spalten die Bildvektoren der Basiselemente von \( \mathcal{A} \) bezogen auf die Basis \( \mathcal{B} \).
Ist dir das klar?
Nun gucken wir uns erstmal an wie so ein Polynom als Vektor dargestellt werden kann. Wir betrachten den Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich \( 3 \) (\(\mathcal{P}_3 \)) mit der Basis
$$ \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} $$
Betrachten wir jetzt mal beispielsweise das Polynom
$$ p(x) = 2x^3 - 3x + 2 $$
Siehe diese Form als Linearkombination der Basisvektoren an. Wie könnte dieses Polynom als Vektor aussehen?
Dann überlege dir einmal zuerst, wie dieses Polynom durch \( l \) abgebildet wird.
Nun kannst du jeden Basisvektor der Basis \( \mathcal{B} \) durch \( l \) abbilden. Wie sehen diese Bilder aus?
Wie sehen diese Bilder als Linearkombination der Basis
$$ \mathcal{C} := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
aus?
Nun musst du nur noch die Bilder als Spalten in die Matrix einsetzen und erhälst deine Abbildungsmatrix.
Versuch dich mal. Wenn du irgendwo nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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War vielleicht etwas missverständlich mit der Linearkombination weil hier die Standardbasis gewählt wurde. Wäre beispielsweise die Basis
$$ \mathcal{D} = \left\{ \underset{\vec{d}_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{\vec{d}_2}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{\vec{d}_3}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
und wir würden uns das Bild von
$$ 1 x^0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
angucken, hätten wir
$$ l(x^0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac 1 2 \vec{d}_1 + \frac 1 2 \vec{d}_2 + 1\vec{d}_3 $$
und die erste Spalte der Matrix wäre
$$ \left( \begin{matrix} \frac 1 2 \\ \frac 1 2 \\ 1 \end{matrix} \ \ldots \right) $$
Grüße Christian ─ christian_strack 23.06.2020 um 00:22
Mir ist leider hier mit der Basis noch nicht ersichtlich, wie man auf die Koeffizienten vor den d's kommt (1/2; 1/2; 1) und wie das mit 1*x^0 zusammenhängt. 🤓 ─ kamil 23.06.2020 um 10:45
Ist das soweit klar?
Deshalb setzen wir jetzt nach und nach die Basisvektoren in unsere Abbildung ein. Wir haben die Basis
$$ \mathcal{B} = \left\{ x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Ist dir klar warum die Monome diesen Vektordarstellungen entsprechen?
Wir könnten auch die Basis
$$ \mathcal{E} = \left\{ 1 , x+1 , x^2 + x , x^3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
wählen. Dann müssten wir diese Basisvektoren in unsere Abbildung einsetzen und die Bilder berechnen.
So nachdem wir nun wissen wie die Abbildung unsere Basisvektoren abbildet, müssen wir diese Bilder noch auf unsere Basis im Zielraum anpassen. Wenn wir die Standardbasis (in der Aufgabe mit \( \mathcal{C} \) bezeichnet) haben, haben wir die Bilder direkt bzgl der Basis im Zielraum dargestellt. Wenn diese allerdings nicht die Basis des Zielraums ist, müssen wir die Bilder noch bzgl der richtigen Basis darstellen.
Als Beispiel nehmen wir mal den Basisvektor
$$ \vec{e}_2 = x+1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Wenn wir diesen in die Abbildung werfen, erhalten wir das Bild
$$ l(\vec{e}_2) = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 0 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
bzgl der Basis \( \mathcal{C} \), der Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \), erhalten wir die Linearkombination
$$ l(\vec{e}_2) = 2 \vec{c}_1 + 0 \vec{c}_2 + 3 \vec{c}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
es verändert sich also nichts.
Bzgl. der Basis \( \mathcal{D} \) erhalten wir aber eine andere Linearkombination:
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Bzgl der Basis \( \mathcal{D} \) hat unser Bildvektor somit die Gestalt
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
also als Einträge die Koeffizienten der Linearkombination. Und genau dieser Vektor ist dann der zweite Spaltenvektor unserer Matrix (der zweite, weil wir den zweiten Basisvektor von \( \mathcal{E} \) eingesetzt haben).
Wenn du willst, bestimme mal als Übung die komplette Abbildungsmatrix \( l_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{E}} \). Ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.06.2020 um 11:07
Ich denke mir ist das Prinzip jetzt klar geworden. Vor allem jetzt auch, dass man an die Koeffizienten mit Gauß-Verfahren rankommt.
Die Abbildungsmatrix als Übung habe ich bestimmt. Kann ja nicht schaden😁
Ich habe zwei Bilder der Rechnung beigefügt.
Vielen dank nochmal. Jetzt verstehe ich es besser
Liebe Grüße
Kamil ─ kamil 24.06.2020 um 17:02
$$ \vec{e}_3(2) = 2^2 + 2 = 6 $$
und somit
$$ l(\vec{e}_3) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Damit wir die dritte Spalte zu
$$ \left( \ldots \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{matrix} \ldots \right) $$
Aber ansonsten alles richtig! :)
Sehr gerne. Freut mich das ich helfen konnte :)
Grüße Christian ─ christian_strack 25.06.2020 um 09:27
Gut aufgepasst :p Habe es korrigiert :) ─ christian_strack 25.06.2020 um 11:41
Hier habe ich 2 ähnliche Fragen, aber doch irgendwie anders. :D Falls du mal irgendwann wieder Tipps geben könntest, wie hier, könnte ich weiter machen, die Hilfe muss nicht sofort sein. Ich glaube keiner hilft mir so gut wie du xD
Fragen:
https://www.mathefragen.de/frage/20808/l-3b21b3-als-linearkombination-von-vektoren-eingeben/
https://www.mathefragen.de/frage/20804/darstellungsmatrix-invertieren/ ─ kamil 25.06.2020 um 11:54
Ja Mathematik kann wirklich eine Menge Spaß machen solange man versteht was man da überhaupt macht. :D
Leider geht bei vielen durch schlechte Lehrer das Verständnis schon früh verloren und deshalb ist Mathe auch so "verpönnt".
Das freut mich sehr zu hören.
Ich gucke gleich mal in die Fragen :) ─ christian_strack 25.06.2020 um 11:59
https://www.mathefragen.de/frage/20871/zweite-lineare-abbildung-der-darstellungsmatrix-bestimmen/
Danke. Ich komme echt nicht weiter. Ich glaube, ich habe mit der Notation/Bedeutung der Schreibweise die meisten Probleme ─ kamil 25.06.2020 um 19:38
Ich habe die Bilder raus bekommen. Was ich noch nicht verstehe ist, wie ich die Bilder als Linearkombinantion der Basis C darstellen soll. Wie das gemeint ist.
Rechnung habe ich als Bild beigefügt.
Liebe Grüße
Kamil ─ kamil 22.06.2020 um 18:12