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Hallo,
fangen wir hier an. Diese geht eigentlich relativ schnell. Wir haben hier eine Abbildung die von der Standardbasis des \( \mathcal{P}_2 \) (Monombasis) auf die Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \) (kanonische Basis) abbildet. Hier musst du nur aufpassen, da die Monombasis eine umgekehrte Reihenfolge im Vergleich zur letzten Aufgabe hat. Es gilt hier also
$$ \mathcal{B} = (m_2 , m_1 , m_0) = (x^2 , x , 1 ) $$
Wie sieht diese Basis in Vektordarstellung aus?
Danach gehst du wieder genauso vor wie in bei der letzten Aufgabe. Du setzt jeden Basisvektor ein und hast deine Spalten der Abbildungsmatrix. Da du hier wieder die Standardbasis hast, brauchst du die Linearkombination nicht extra bestimmen.
Wenn du die Abbildungsmatrix hast, kannst du diese invertieren und erhälst deine Lösung.
Grüße Christian
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$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 $$
darstellen kann, können wir Vektoren eines Polynomraums auch allgemein darstellen
$$ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a x^2 + bx + c1 $$
Wenn du jetzt das Monom \( x^2 \) (also den ersten Basisvektor) durch die Abbildung jagst, erhälst du den Vektor
$$ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} $$
weil hier \( a =1 \) und \(b,c =0 \) ist. Genauso wäre für den Basisvektor \( \vec{e}_1 \), \( x=1 \) und \( y,z =0 \). Das Prinzip ist also das gleiche hier wurden nur andere Buchstaben genutzt.
Damit erhälst du die Matrix
$$ \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac 1 2 & \frac 1 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Also genau dein Ergebnis nur ohne \(a,b \) und \( c \) :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 13:01
$$ ax^2 + bx + c $$
Als Vektor bzgl der Monombasis, können wir auch
$$ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $$
schreiben.
Das Monom \( x^2 \) erhalten wir aus der allgemeinen Darstellung, wenn wir \( a =1 \) setzen und \( b,c = 0 \), denn
$$ x^2 = 1x^2 + 0 x + 0 $$
Als Vektor wäre das also
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Den zweiten Basisvektor \( x \) erhalten wir aus der allgemeinen Darstellung, wenn \( a ,c = 0 \) und \( b =1 \) usw.
Noch ein Beispiel: Das Polynom
$$ x^2 - x + 2 $$
erhalten wir aus der allgemeinen Form, für \( a = 1 , b= -1 \) und \( c = 2 \). Das wäre der Vektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ - 1\\ 2 \end{pmatrix} $$
Gucken wir uns wieder die Bilder der Basisvektoren an.
$$ l(x^2) = l \left( \begin{pmatrix} a=1 \\ b= 0 \\ c=0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -1 -0 \\ \frac 1 2 \cdot 0 + \frac 1 2 \cdot 0 \\ -2 \cdot 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Da wir im Zielraum die kanonische Basis haben (Standardbasis), haben wir sofort die Koeffizienten und so entstand die erste Spalte der Matrix. ─ christian_strack 26.06.2020 um 20:04