Zu der zweiten Frage: Ich hole etwas aus und hoffe, das hilft.

Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p)\) heiße \(S_A\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität

\(\alpha\cdot \vec{OS_A}= \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{OS_A}\).

Der gewichtete Schwerpunkt der Menge \((B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S_B\) und er erfüllt wie ganz oben in deinem Buchausschnitt gezeigt für jeden Punkt \(O\) die Identität

\(\beta\cdot \vec{OS_B}= \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{OS_B}\).

Der gewichtete Schwerpunkt des Systems der Menge \((A_1,\alpha_1),\ldots,(A_p,\alpha_p),(B_1,\beta_1),\ldots,(B_q,\beta_q)\) heiße \(S\) und ist per Definition der eindeutige Punkt, für den gilt

\(\alpha_1\cdot \vec{SA_1} + \alpha_2\cdot \vec{SA_2}+\ldots+ \alpha_p\cdot \vec{SA_p}+\beta_1\cdot \vec{SB_1} + \beta_2\cdot \vec{SB_2}+\ldots+ \beta_q\cdot \vec{SB_q}=0\)

Etwas anders geschrieben ist das

\(\sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot \vec{SA_i}+\sum_{i=1}^q \beta_i\cdot \vec{SB_i}=0\qquad\) (*)

Der Schwerpunkt \(S_{AB}\) der zwei Punkte \((S_A,\alpha)\) und \((S_B,\beta)\) ist per Definition der eindeutige Punkt mit

\(\alpha\cdot \vec{S_{AB}A_S} +\alpha\cdot \vec{S_{AB}B_S}=0\qquad\) (**)

Jetzt stellt man fest, dass die beiden Punkte \(S\) und \(S_{AB}\) identisch sind - dazu addiert man die oben gegebeben Identitäten, wobei man \(O=S\) setzt:

\(\alpha\cdot \vec{SS_A} + \beta\cdot \vec{SS_B} = \sum_{i=1}^p \alpha_i\cdot\vec{SS_A} + \sum_{i=1}^q \beta_i\cdot\vec{SS_B} = 0\)

Dass diese Summe \(0\) ist, folgt aus (*) - demnach sind mit (**)  \(S\) und \(S_{AB}\) identisch.

Das sind einfach Punkte, die mit einem Gewichtswert versehen sind - so einfach ist das. Ein gewichteter Punkt ist ein Tupel \((A_i,m_i)\), wobei \(A_i\) ein Punkt des euklidischen Raums ist und \(m_i\) sein Gewicht - eine reelle Zahl.

Die Umformung ist recht einfach - du ziehst die Summe auseinandern:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^p m_i\cdot (\vec{MM'}+\vec{M'A_i})=\sum_{i=1}^p m_i\cdot \vec{MM'}+\sum_{i=1}^pm_i\cdot\vec{M'A_i}\)

Dann beonachtest du, dass der Vektor \(\vec{MM'}\) gar nicht vom Laufindex der Summe abhängt. Also

\(\sum_{i=1}^p m_i\cdot \vec{MM'}= \vec{MM'} \cdot \sum_{i=1}^p m_i= \vec{MM'} \cdot m\)

und die Summe der \(m_i\) per Definition \(m\) ist.

Die letzte Frage verstehe ich nicht. Fehlt da etwas? Was ist OS?

Zweiter Teil: :-)

Ist \(m=0\), so können wir mit (*) argumentieren, dass

\(f(M)= m\cdot \vec{MM'}+ f(M')=0\cdot \vec{MM'}+ f(M')=f(M')\)

alle Punkte auf denselben Wert abgebildet werden. Also alle gleich \(0\) oder alle ungleich \(0\).

Ist \(m\neq0\) - wir suchen ein \(S\) mit der Eigenschaft, dass \(f(S)=0\) ist. Wieder betrachten wir die Gleichung (*) und erhalten in diesem Fall

\(f(O)= m\cdot \vec{OS}+ f(S)= m\cdot \vec{OS}\)

Stellt man diese Gleichung um und setzt die Definition von \(f\) ein, ist \(S\) der (eindeutige) Punkt, der die Gleichung

\(\vec{OS} =\frac1m\cdot\sum_{i=1}^pm_i\cdot \vec{OA_i}\)

erfüllt.