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Hallo,
der Anfang ist doch schon mal nicht schlecht. Spalte die linke Summe auf
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^{n+1} i \right)^2 = \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1) \right)^2 $$
Nun nutze die binomische Formel.
Die rechte Summe spaltest du nun auch auf
$$ \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^3 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 + ? $$
Wenn du nicht weiter kommst, melde dich nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Noch ein kleiner Tipp: Du brauchst hier den kleinen Gauß :)
─
christian_strack
01.07.2020 um 18:27
sry aber ich komme da echt nicht weiter aber vielen Dank schonmal für die Antwort
─
danny96
01.07.2020 um 18:34
Machen wir Schritt für Schritt zusammen. Zuerst was kommt beim \( ? \) hin?
Du setzt ja in jeden Summanden einen um \( 1 \) höhern Wert als beim letzten Summanden ein. Bei der Summe
$$ \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^3 $$
was ist da der \( n+1\)-te Summand? ─ christian_strack 01.07.2020 um 18:52
Du setzt ja in jeden Summanden einen um \( 1 \) höhern Wert als beim letzten Summanden ein. Bei der Summe
$$ \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^3 $$
was ist da der \( n+1\)-te Summand? ─ christian_strack 01.07.2020 um 18:52
meinst du \((n+1)^3\)
─
danny96
01.07.2020 um 18:56
Ja genau. Damit folgt aus dem Induktionsschritt
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1) \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 $$
Nun wende mal auf die linke Seite der Gleichung die erste binomische Formel an.
Dann gilt ja laut Induktionsvoraussetzung
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
Damit können wir die Gleichung vereinfachen. Kommst du auf die Vereinfachung? ─ christian_strack 01.07.2020 um 18:59
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1) \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 $$
Nun wende mal auf die linke Seite der Gleichung die erste binomische Formel an.
Dann gilt ja laut Induktionsvoraussetzung
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
Damit können wir die Gleichung vereinfachen. Kommst du auf die Vereinfachung? ─ christian_strack 01.07.2020 um 18:59
\( (\sum_{i=1}^{n} i)^2 + n^2 + 2n + 1\)
─
danny96
01.07.2020 um 19:06
Ne ich meine auf den linken Teil
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1) \right)^2 = ? $$ ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:08
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1) \right)^2 = ? $$ ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:08
Ne die binomsiche Formel ist doch
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
nun ist
$$ a= \sum\limits_{i=1}^n i \quad \text{und} \quad (n+1) = b $$ ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:11
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
nun ist
$$ a= \sum\limits_{i=1}^n i \quad \text{und} \quad (n+1) = b $$ ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:11
achsoo... \( \sum_{i=1}^{n} i^3 + 2* \sum_{i=1}^{n}*(n+1) + (n+1)^2\) kurze Frage dazu.. warum verschwindet das i
─
danny96
01.07.2020 um 19:17
Fast. Es ist
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 \right)^2 = \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 + 2 (n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 $$
Und damit gilt
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 + 2 (n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 $$
Ist das bis hier hin verständlich?
Jetzt kommen wir zu einem sehr grundlegenden Schritt in der vollständigen Induktion. Die Induktionsvoraussetzung ist ja
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
Deshalb können wir jetzt beide Seiten der Gleichung vereinfach indem wir links
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 $$
abziehen und rechts
$$ \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
und erhalten
$$ 2(n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 = (n+1)^3 $$
Ab hier brauchst du den sogenannten kleinen Gauß oder die Gaußsche Summenformel. Es gilt:
$$ \sum\limits_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)} 2 $$
Kommst du damit auf das Ergebnis? ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:25
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 \right)^2 = \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 + 2 (n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 $$
Und damit gilt
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 + 2 (n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 $$
Ist das bis hier hin verständlich?
Jetzt kommen wir zu einem sehr grundlegenden Schritt in der vollständigen Induktion. Die Induktionsvoraussetzung ist ja
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
Deshalb können wir jetzt beide Seiten der Gleichung vereinfach indem wir links
$$ \left( \sum\limits_{i=1}^n i \right)^2 $$
abziehen und rechts
$$ \sum\limits_{i=1}^n i^3 $$
und erhalten
$$ 2(n+1) \cdot \sum\limits_{i=1}^n i + (n+1)^2 = (n+1)^3 $$
Ab hier brauchst du den sogenannten kleinen Gauß oder die Gaußsche Summenformel. Es gilt:
$$ \sum\limits_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)} 2 $$
Kommst du damit auf das Ergebnis? ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:25
Oh das \( i \) verschwindet nicht. Ich habe es vergessen einzutippen. Habe es korrigiert.
─
christian_strack
01.07.2020 um 19:26
\(n(n+1)^2 + (n+1)^2 = (n+1)^3\)
\((n+1)^3 = (n+1)^3\) ─ danny96 01.07.2020 um 19:43
\((n+1)^3 = (n+1)^3\) ─ danny96 01.07.2020 um 19:43
ich danke dir vielmals für deine Hilfe
─
danny96
01.07.2020 um 19:44
Ja genau das ist es schon. :)
Sehr gerne. ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:47
Sehr gerne. ─ christian_strack 01.07.2020 um 19:47
Noch als Anmerkung. Vor allem wenn man mit Summen rechnet, läuft es meistens darauf hinaus das man auf beiden Seiten der Gleichungen versucht so die Summen umzuformen, bis in beiden Summen die Induktionsvoraussetzung wieder vorkommt. Dann wird auf beiden Seiten noch das was durch den Schritt \( n \to n+1 \) mehr da ist verglichen und gezeigt das dieser gleich ist. Das also auf beiden Seiten der Gleichung das selbe dazukommt. :)
─
christian_strack
01.07.2020 um 19:49