Du benötigst hier den Satz von der impliziten Funktion.

Betrachte \(F\) als Funktion \( \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \). Da \(F(1,1,1)=0 \) und \( \frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1) = -1 \) ist, lässt sich der Satz von der impliziten Funktion für die Stelle \((1,1,1) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \) anwenden und liefert eine offene Umgebung \(U \subset \mathbb{R}^2\) von \((1,1)\), eine offene Umgebung \( V \subset \mathbb{R} \) von \(1\) und eine stetig differenzierbare Funktion \(f: U \to V\), sodass gilt:

Es ist \(f(1,1)=1\) und für alle \((x,y) \in U\), \(z \in V\) ist \( F(x,y,z)=0 \Leftrightarrow z = f(x,y) \).