Erwartungswert von Standardnormalverteilung

Aufrufe: 721     Aktiv: 17.07.2020 um 23:10
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Die Aufgabe lautet: 

  1. Es sei Y standardnormalverteilt. Berechnen Sie, falls existent, den Erwartungswert von Z := eY .

Meine Lösung dazu lautet: 

|E[Y] = 0, weil standardnormalverteilt. 

Z = e^Y  <=> ln(Z) = Y

|E[Y]  = |E(ln(Z)] = 0

         = ln(|E[Z]) = 0

         => |E[Z] = 1

 

Ist das richtig? Das wäre doch zu einfach... :D 

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So einfach geht es leider nicht, denn \(\mathbb{E}\ln(Z)\neq\ln(\mathbb{E}Z)\). Du wirst nicht drumrumkommen das enstsprechende Integral auszurechnen, also

\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}e^xdx\)

Wenn du es korrekt ausrechnest sollte als Erwartungswert \(e^{\frac{1}{2}}\) rauskommen. Die Zufallsvariable Z heißt übrigens log-normalverteilt.

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Ja das ist das vorgehen, wenn man den Erwartungswert einer transformierten Zufallsvariable ausrechnen möchte.Also wenn eine Zufallsvariable X die Dichtefunktion f hat dann ist \(\mathbb{E}g(X)=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx\)   ─   benesalva 17.07.2020 um 23:10

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