Irgendwelche Tricks gibt es nicht. Zu jedem der gefundenen Eigenwerte muß man ein lineares Gleichungssystem lösen, um den entsprechenden Eigenvektor zu finden. Dieses Gleichungssystem enthält linear abhängige Gleichungen, so dass man (im nicht entarteten Fall) eine Variable frei wählen kann. Übrigens, hier gibt es einen "Trick", um die Berechnung der Eigenwerte zu überprüfen: Versuche die lineare Abhängigkeit des Systems zu erkennen!!! Sind die Gleichungen nicht abhängig, dann ist der Eigenwert mit Sicherheit falsch.

Für die Eigenvektoren musst Du ein LGS lösen, ob das "leicht" ist, ist Ansichtssache (ich finde das leicht). Für 3x3 gibt es einen Trick mit dem Kreuzprodukt (siehe video), dazu kann ich nichts sagen, ich mag keine neuen Tricks für etwas, was auch ohne geht).

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn für jede EW die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen ist. D.h. die Vielfachheit als Nullstelle des char. Polynoms (die man bei der Berechnung der EW ja nebenbei bemerkt) gleich der Dimension des zugehörigen Eigenraums (die man bei der Berechnung der EVen nebenbei feststellt).

D.h. nach Berechnung von EW und EV weiß man ohne weitere Rechnung, ob die Matrix diagonalisierbar ist. Wenn das geht, besteht die Transformationsmatrix zum Diagonalisieren aus n linear unabhängigen EVen.