Man verwendet folgende Substitution \(g(x):=\ln(\frac{y}{x})\). Somit ergibt sich für die Ableitung mittels Quotientenregel und Kettenregel
\(g'(x)=\frac{x}{y(x)}\cdot\frac{y'(x)\cdot x-y(x)}{x^2}=\frac{y'(x)\cdot x-y(x)}{y(x)\cdot x}\). Umformung ergibt weiters:
\(x\cdot y(x)\cdot g'(x)=y'(x)\cdot x-y(x) \Leftrightarrow y'(x)\cdot x=y(x)(x\cdot g'(x)-1)\). Wenn wir nun die Ausgangsdifferentialgleichung betrachten fällt auf, das
\(x\cdot y'(x)=y(x)\cdot \ln(y(x))-\ln(x) \Leftrightarrow x\cdot y'(x)=y(x)\cdot \ln( \frac{y(x)}{x})\) gilt. Wenn wir nun die Substitution einsetzen folgt weiters:
\(y(x)\cdot(x\cdot g'(x)-1)=y(x)\cdot g(x)\). Nun hebt sich \(y(x)\) auf beiden Seiten auf und wir erhalten eine lineare inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung, welche mit der Methode der Trennung der Veränderlichen und der Variation der Konstanten gelöst werden kann. Als Lösungsfunktion für \(g(x)\) ergibt sich \(g(x)=C\cdot x+1\). Mithilfe der Rücksubstitution ergibt sich dann \(y(x)=x\cdot e^{C\cdot x+1}\). Ich hoffe die Schritte bzgl. der Trennung der Veränderlichen und die Variation der Konstanten sind klar