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Sei \(f(x):= x^{\overline{n}}=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x-i)\)
Die Ableitung kann man sich mit der sog. logarithmischen Ableitung überlegen, mal abgesehen von Sonderfällen (z.B. wenn \(f\) Nullstellen hat).
sei \(g(x):=\ln f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}\ln (x-i)\). Dann \(\frac{f'(x)}{f(x)} = g'(x) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac1{x-i}\), also
\(f'(x) = x^{\overline{n}}\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac1{x-i}\).
Für \(x^{\underline{n}}\) natürlich analog.
Für die Stammfunktion habe ich spontan keine Idee.
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mikn
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
\( x^{\overline{n}} \) ist die sogennante steigende Faktorielle und \( x^{\underline{n}} \) ist die fallende Faktorielle. Sie sind definiert als:
$$ \begin{array}{ccc} x^{\overline{n}} & = & x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1) \\ x^{\underline {n}} & = & x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1) \end{array} $$
Grüße Christian ─ christian_strack 28.07.2020 um 23:03