Im Eulerkreis werden alle KANTEN genau einmal durchlaufen, über die Knoten ist nichts gesagt. Beim Hamiltonkreis werden alle KNOTEN genau einmal durchlaufen, über die Kanten ist nichts gesagt.
Einen Eulerkreis gibt es, da jeder Knoten geraden Grad hat. Dafür gibt es Algorithmen (z.B. Hierholzer). Hamiltonkreise sind eine ganz andere Spielklasse, ob es hier einen, oder mehrere, gibt, weiß ich nicht. Ich würde das ausprobieren.
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