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Hallo,
c) wir haben eine parallele zur x-Achse gegeben. Diese haben die allgemeine Gleichung
$$ y = c $$
Da diese Parallele durch \( P(2|-4) \) gehen soll, ist die Gleichung der Parallele
$$ y = -4 $$
Nun soll der Scheitelpunkt der Parabel auf dieser Geraden liegen. Das bedeutet die Parabel berührt dort die Gerade. Sie schneidet sie aber nicht.
Was ist der Unterschied zwischen Berührpunkt und Schnittpunkt? Wie kann man mathematisch zeigen, dass zwei Funktionen sich treffen?
d) Wir müssen zuerst ganz allgemein den Scheitelpunkt berechnen. Entweder du bringst die Parabel in Scheitelpunktform. Oder du betrachtest das Extremum.
Der berechnete Scheitelpunkt ist dann in Abhängigkeit von \( t \). Daraus kannst du dann die Ortskurve der Scheitelpunkte erstellen.
e) Hier können wir wie in der c) vorgehen. Wie berechnet man ob sich zwei Funktionen treffen? Was muss die Lösung sein, wenn die Funktionen sich berühren und nicht schneiden?
Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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Ich würde sagen, dass \( t= -0{,}5 \) nicht stimmt. In der Aufgabe steht nämlich meiner Meinung nach nicht, dass die Parabel durch den Punkt \( P(2|-4) \) geht, sondern dass die Parallele zur x-Achse durch diesen Punkt geht.
Würde der Punkt sich auf die Parabel beziehen, wäre der Bezug zur Parallelen bedeutungslos, da jeder Punkt auf einer parallelen zur x-Achse liegt. Was meinst du?
Wir haben also die Gerade
$$ y = -4 $$
und die Parabel
$$ f_t(x) = tx^2 - x $$
Diese sollen sich berühren. Das bedeutet, wenn wir überprüfen wo die Funktionen sich treffen, erhalten wir nur eine Lösung!
Wir setzen beide Funktionen gleich
$$ tx^2 - x = -4 $$
und lösen die Gleichung mittels pq-Formel (wir holen also zuerst die \( 4 \) rüber und teilen noch durch \( t \)).
$$ x = - \frac 1 {2t} \pm \sqrt{ \frac 1 {4t^2} - \frac 4 t} $$
Nun wollen wir nur eine Lösung haben (da ein Berührpunkt vorliegen soll). Also muss die Diskriminante Null werden
$$ \frac 1 {4t^2} - \frac 4 t = \frac {1 - 16t} {4t^2} = 0 $$
das führt zu
$$ t = \frac 1 {16} $$
Ist das verständlich?
d) wenn das \( t \) jeweils mit im Nenner steht, dann stimmt der Scheitelpunkt. Jetzt können wir daraus die Ortskurve basteln.
$$ y = - \frac 1 {4t} $$
setzen wir da die x-Koordinate für \( t \) ein, erhalten wir
$$ y = - \frac 1 {4t} = - \frac 1 {4 \frac 1 {2x}} = - \frac x 2 = - \frac 1 2 x $$
und das ist eine Urpsrungsgerade :)
e) Ja man könnte hier auch über die Ableitung gehen. Allerdings würde ich wie gesagt wie in der c) vorgehen. Eine Tangente bedeutet, dass die Gerade die Funktion nur berührt. Also haben wir nur einen! Schnittpunkt.
Wir setzen beide Funktionen gleich und erhalten
$$ tx^2 - x = 2x - 4 $$
Wenn du diese Gleichung nun nach \( x \) löst, darf dort nur eine Lösung herauskommen. Dadurch erhälst du dann einen Wert für \( t \).
─ christian_strack 03.08.2020 um 10:34
Kommst du bei e) auf eine Lösung? ─ christian_strack 03.08.2020 um 19:16
zu d):
Hier habe ich die Ableitung genommen und ausgerechnet
Mein Scheitelpunkt wäre S(1/2t, -1/4t)
zu e)
Hier habe ich beide Ableitungen und ebenfalls beide gleichgesetzt
(3/2t, 3/4t)
Wie gesagt, bei den Lösungen bin ich mir 0% sicher ─ evelina 03.08.2020 um 09:56