Hallo,

die Folge \( a_n = n^3-3n^2 \) soll auf die Monotonie untersucht werden:.

Uns wurde beigebracht, dass man die Monotonie einer Folge folgendermaßen herausfinden kann: 
\( a_{n+1} - a_n > 0 \)  oder \( \frac {a_{n+1}} {a_n}  > 1 \Rightarrow \) Folge ist streng monoton steigend, ansonsten fallend.

Mit dem ersten Ansatz erhalte ich:
\( a_{n+1} - a_n =  (n+1)^3 - (3n+1)^2 - (n^3 - 3n^2) = 3n^2 - 3n - 2  \).

Für \( n < 2\) ist das Ergebnis \( < 0 \), d.h. die Folge ist streng monoton fallend.
Für \( n \geq 2\) ist das Ergebnis \( > 0 \), d.h. die Folge ist streng monoton steigend.

Um herauszufinden, wann das Ergebnis größer oder kleiner 0 ist, muss ich entweder ausprobieren oder die Ableitungen untersuchen. Allerdings wurde uns vermittelt, dass man mit dieser Formel die Monotonie der gesamten Folge herausfinden kann. Doch die Monotonie ist hier nicht immer dieselbe, oder habe ich einen Denkfehler? Kann eine Folge überhaupt, genau wie eine Funktion, unterschiedlich monoton auf verschiedenen Abschnitten sein? Denn grundsätzlich ist das ja eine normale Funktion mit dem Definitionsbereich aller natürlichen Zahlen.

Ich frage mich, warum man nicht gleich die Ableitung der Folge untersucht, um die Extrema sowie die Monotonie herauszufinden. 

Ich hoffe es ist verständlich, wo meine Verwirrung liegt...
Vielen Dank schonmal für alle Antworten.