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Du musst die Elemente aus der Menge \(A\times B\) als Paare schreiben: \((a,b)\in A\times B\). Sonst ergibt das keinen Sinn.
Ich zeige Dir die Reflexivität als Beispiel: Sei \((a,b)\in A\times B\). Wegen der Reflexivität der Relationen auf \(A\) und \(B\) gilt \(a\le a\) und \(b\preceq b\). Hier tritt der 2. Fall der Definition von \(\trianglelefteq\) ein: \(a=a\wedge b\preceq b\). Somit gilt \((a,b)\trianglelefteq(a,b)\). Damit ist \(\trianglelefteq\) reflexiv.
Versuche jetzt, die anderen Eigenschaften zu zeigen.
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slanack
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Danke für die Hilfe haben meine Lösung geteilt hoffe ich bin auf den richtigen Pfad.
─
luxtux31er
19.11.2020 um 08:10
Reflexivität ist korrekt gezeigt. Es fehlt nur etwas Klarheit in der Darstellung. Besser wäre: Sei \((a,b)\in A\times B\Rightarrow a= a\wedge b= b\Rightarrow a= a\wedge b\preceq b\Rightarrow (a,b)\trianglelefteq(a,b)\). Damit ist \(\trianglelefteq\) reflexiv.
Die Folgerung bei antisymmetrisch ist so nicht richtig, denn aus \((a,b)\trianglelefteq (a',b')\) folgt nicht \((a',b')\trianglelefteq (a,b)\). Die richtige Logik geht so: Seien \((a,b),(a',b')\in A\times B\) mit \((a,b)\trianglelefteq(a',b')\) und \((a',b')\trianglelefteq(a,b)\) gegeben. Es folgt
\begin{align*}
&\bigl(a< a'\vee(a=a'\wedge b\preceq b')\bigr) \wedge \bigl(a'< a\vee(a'=a\wedge b'\preceq b)\bigr)\\
\Leftrightarrow&(a=a'\wedge b\preceq b')\wedge(a'=a\wedge b'\preceq b)\\
\Leftrightarrow&a=a'\wedge b= b'\\
\Leftrightarrow&(a,b)=(a',b').
\end{align*}
In der ersten Äquivalenz habe ich das Distributivgesetz und die Äquivalenz \(\mathrm{f}\vee c\Leftrightarrow c\) für einen beliebigen Ausdruck \(c\) verwendet.
Für die Transitivität musst Du ganz anders anfangen: Seien \((a,b),(a',b'),(a'',b'')\in A\times B\) mit \((a,b)\trianglelefteq(a',b')\) und \((a',b')\trianglelefteq(a'',b'')\) gegeben \dots\ Es folgt \((a,b)\trianglelefteq(a'',b'')\). Ergänze jetzt die ausgelassenen Schritte. ─ slanack 19.11.2020 um 10:24
Die Folgerung bei antisymmetrisch ist so nicht richtig, denn aus \((a,b)\trianglelefteq (a',b')\) folgt nicht \((a',b')\trianglelefteq (a,b)\). Die richtige Logik geht so: Seien \((a,b),(a',b')\in A\times B\) mit \((a,b)\trianglelefteq(a',b')\) und \((a',b')\trianglelefteq(a,b)\) gegeben. Es folgt
\begin{align*}
&\bigl(a< a'\vee(a=a'\wedge b\preceq b')\bigr) \wedge \bigl(a'< a\vee(a'=a\wedge b'\preceq b)\bigr)\\
\Leftrightarrow&(a=a'\wedge b\preceq b')\wedge(a'=a\wedge b'\preceq b)\\
\Leftrightarrow&a=a'\wedge b= b'\\
\Leftrightarrow&(a,b)=(a',b').
\end{align*}
In der ersten Äquivalenz habe ich das Distributivgesetz und die Äquivalenz \(\mathrm{f}\vee c\Leftrightarrow c\) für einen beliebigen Ausdruck \(c\) verwendet.
Für die Transitivität musst Du ganz anders anfangen: Seien \((a,b),(a',b'),(a'',b'')\in A\times B\) mit \((a,b)\trianglelefteq(a',b')\) und \((a',b')\trianglelefteq(a'',b'')\) gegeben \dots\ Es folgt \((a,b)\trianglelefteq(a'',b'')\). Ergänze jetzt die ausgelassenen Schritte. ─ slanack 19.11.2020 um 10:24