Integralrechnung Formansatz

Aufrufe: 3224     Aktiv: 29.12.2020 um 12:06
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Aufgabe: Berechnen Sie mit dem gegebenen Formansatz eine Stammfunktion von f. 

\(f(x) = x \cdot e^{2x} + e^{-2x}; F(x) = (ax+b) \cdot e^{2x} + c \cdot e^-2x\)

Habe dann angefangen mit Ableitung von \(F(x)\) 

\(F'(x) = e^{2x}  (a+2ax+2b) + (-2) e^{-2x}\)

Danach kommt der Koeffizientenvergleich und da bin ich irgendwie raus: 

\(F'(x) = f(x)\)

\(F'(x) = e^{2x}  (a+2ax+2b) + (-2) e^{-2x} = x \cdot e^{2x} + e^{-2x} \)

 

Ab diesem Punkt weiß ich ehrlich nicht weiter

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Wo ist dein c bei der Ableitung hin verschwunden?   ─   jojoliese 29.12.2020 um 10:50
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Okay, ich dachte vielleicht wenn du deine Ableitung korrigierst hast du es schon raus, denn du bist doch fast am Ziel! Dein Koeffizientenvergleich sieht jetzt so aus:

\( a+2ax+2b =x \) 

und 

\( -2c=1 \)

Ich denke die zweite Gleichung kriegst du hin. Bei der ersten wäre es gut, wenn du zuerst überlegst wie \( a \) gewählt werden muss, damit \( x\) den Faktor 1 hat und dann wie b gewählt werden muss, damit die anderen Summanden verschwinden.

Ich weiß nicht wie ich weiter helfen soll ohne die Lösung des Koeffizientenvergleiches zu verraten .. wenn du nicht weiterkommst mache ich das aber gerne und erkläre dir wie ich es mache!

Am Schluss musst du nur die ermittelten Konstanten \( a\) , \( b \) und \( c\) in die Stammfunktion \( F \) einsetzen und erhälst eine korrekte Stammfunktion. Das kannst du auch durch nochmaliges Ableiten überprüfen!

 

Viele Grüße

Jojoliese

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c ist richtig und a auch, denn \( 2 \cdot 0,5 \cdot x= 1 \cdot x \)
Denk nochmal über b nach. Du möchtest jetzt \( a+2b = 0 \) erreichen, weil du ja keine anderen Summanden hast. Setzt man deine Werte ein \( 0,5+2\cdot (-1) = -1,5 \) geht das noch nicht ganz auf. Wie müsste man b stattdessen wählen?   ─   jojoliese 29.12.2020 um 11:39
\( b=-0,25 \) ist richtig!

Du hast jetzt alle beisammen und kannst sie in \( F \) einsetzen um eine Stammfunktion von \( f \) zu erhalten!
Wenn du es nochmal überprüfen willst dann leite doch erneut ab und schau ob das richtige heraus kommt :)
Ansonsten bist du dann fertig   ─   jojoliese 29.12.2020 um 12:04

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