Kurze Antwort Das Trägheitsmoment ist eigentlich immer eine Matrix, genauer ein (2,0)-Tensor. Wenn es egal ist, um welche Achse du das Objekt rotieren lässt, dann ist diese Matrix proportional zur Einheitsmatrix. Dann kann man den Zahlenwert des Trägheitsmoments aus der Matrix rausschreiben und die Einheitsmatrix wirkt auf den Vektor c und ergibt wieder c. So schaut es aus, als wäre das Trägheitsmoment nur ein Skalar. Lange Antwort Wenn man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert, kommt wieder ein Vektor raus. Ein bisschen länger oder kürzer, aber auf jeden Fall die selbe Richtung. Um die Richtung eines Vektors zu ändern, muss man einen Vektor mit einer Matrix multiplizieren. Das ist der Grund, warum bei der Formel für den Drehimpuls L = I w         (L: Drehimpuls, I: Trägheitstensor, w: Winkelgeschwindigkeit) die Winkelgeschwindigkeit nicht mit einem Skalar, sondern mit einer Matrix multipliziert wird. Es kann nämlich sein, dass wenn man ein Objekt um eine gewisse Achse rotieren lässt, der Drehimpuls nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist. Dann braucht man eine Matrix statt einem Skalar. Wenn man die Gleichung in Komponenten anschreibt, sieht das so aus: Hier sieht man, dass die x-Komponente vom Drehimpuls, L_x, nicht nur von w_x abhängt, sondern alle anderen Teile von w auch mitspielen! Falls es  egal ist, um welche Achse man rotiert, kann man die Matrix des Trägheitsmoments so anschreiben: I = I 1         (I: Trägheitsmoment als Matrix, I: Trägheitsmoment als Skalar, 1: Einheitsmatrix) Dann wird aus der Gleichung oben: L = I w L = I 1 w L = I w ...und es sieht so aus, als wäre das Trägheitsmoment nur ein Skalar! Fazit: Bei solchen Gleichungen, die Du erwähnt hast, kommt es darauf an, ob die Orientierung eine Rolle spielt. (=ist es egal, ob ich in diese oder jene Richtung drehe/schiebe/drücke/verforme/...?) Wenn ja, dann "verschwindet" die Tensor-Eigenschaft als Einheitsmatrix. Hoffe, das ist verständlich ;) PS: Ein Tensor ist ein sehr grobes Konzept. Ein Vektor ist z.B. ein (1,0)-Tensor. Ein Skalar ist auch ein Tensor, ein (0,0)-Tensor.

Danke für die ausführliche Antwort, das hilft mir schon sehr viel. Das war die Erklärung nach der ich so lange gesucht hab :) 

Ein paar Offenheiten hab ich aber noch:

ich bleibe beim Beispiel mit dem Trägheitstensor: Es wird ja die Notation Ixy benutzt z.B, verstehe ich richtig das der erste Index angibt bezüglich welche Achse ich das Element betrachte und der zweite dann angibt bezüglich welcher Vektorkomponente ich wiederum dieses Element betrachte?

Und könnte man (anschaulich) sagen das ein Tensor zweiter Stufe ein Vektor ist, dessen Komponenten wieder Vektoren sind? Bei der Jacobi Matrix wird das ja ganz deutlich, wo die Komponenten Gradienten sind.

Grüße,

h

...verstehe ich richtig das der erste Index angibt bezüglich welche Achse ich das Element betrachte und der zweite dann angibt bezüglich welcher Vektorkomponente ich wiederum dieses Element betrachte?  Ganz allgemein, bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert. ...ein Tensor zweiter Stufe ein Vektor ist, dessen Komponenten wieder Vektoren sind?  Ich glaube, es spricht nichts dagegen, sich das so vorzustellen, solange man nicht vergisst, was ein (2,0)-Tensor eigentlich macht (= auf einen Vektor wirken, ihn verändern und als Ergebnis wieder einen Vektor zu liefern). Genau so könnte man sich ein Objekt mit drei Indizes (zB Levi-Civita-Tensor) als "Vektor von Matrizen" vorstellen!

Sorry für die späte Antwort. Ich glaube, es spricht nichts dagegen, sich das so vorzustellen, solange man nicht vergisst, was ein (2,0)-Tensor eigentlich macht (= auf einen Vektor wirken, ihn verändern und als Ergebnis wieder einen Vektor zu liefern). Genau so könnte man sich ein Objekt mit drei Indizes (zB Levi-Civita-Tensor) als “Vektor von Matrizen” vorstellen! Ja das macht Sinn , danke. Ganz allgemein, bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert. Das hab ich leider noch nicht ganz verstanden, wie meinst du das? Danke für die Antworten bis her :) Grüße, h

Alles klar, schauen wir uns zwei Beispiele an: Zuerst wird ein Vektor a mit einem Skalar s multipliziert (sagen wir mal, dass s nicht 0 ist) und ergibt den Vektor b: b = s a In Komponenten sind das drei Gleichungen: b_x = s a_x b_y = s a_y b_z = s a_z Hier können wir zwei Dinge erkennen:

1. Wenn a_x doppelt so groß wird, wird auch b_x doppelt so groß.
2. Wenn a_x null ist, so ist auch b_x null.

Jetzt nehmen wir eine ähnliche Gleichung, aber diesmal verwenden wir keinen Skalar s, sondern einen Tensor, T: d = T c ...in Komponentenschreibweise schaut das Ganze so aus: d_x = T_xx c_x + T_xy c_y + T_xz c_z d_y = T_yx c_x + T_yy c_y + T_yz c_z d_z = T_zx c_x + T_zy c_y + T_zz c_z Jetzt vergleichen wir das mit unseren zwei Erkenntnissen oben:

1. Wenn c_x doppelt so groß wird, dann wird d_x nicht unbedingt auch doppelt so groß! Wir haben ja drei Terme, die alle eine Rolle spielen!
2. Wenn c_x null ist, dann ist d_x nicht unbedingt auch null! Es gibt ja immer noch die Terme "T_xy c_y + T_xz c_z".

Nun nochmal zu meiner ursprünglichen Aussage: "bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert". Schauen wir uns dazu nur eine Zeile von der Tensorgleichung an: d_x = T_xx c_x + T_xy c_y + T_xz c_z Der (xy)-Eintrag vom Tensor T ist der Koeffizient von c_y. Das heißt, dass je größer T_xy ist, desto mehr wirkt sich eine Änderung von c_y auf das Ergebnis d_x aus. Stellen wir uns vor, wir haben die Werte T_xx = 1, T_xy = 1000, T_xz = 1. Dann schaut die Gleichung so aus: d_x = c_x + 1000 c_y + c_z Wenn jetzt c = (1,1,1) ist, dann ist d_x = 1002. Was passiert, wenn wir c_x verdoppeln, also c = (2,1,1)? Dann ist d_x = 1003. Da hat sich d_x recht wenig verändert. Der Grund dafür ist, dass T_xx (im Vergleich zu den anderen) sehr klein ist. Und was passiert, wenn wir c_y verdoppeln, also c = (1,2,1)? Dann gilt d_x = 2002. Der Wert für d_x hat sich stark verändert, obwohl wir c_y genau so verdoppelt haben wie vorher c_x. Der Grund dafür ist, dass T_xy (im Vergleich zu den anderen Komponenten von T) sehr groß ist! Alles klar?

Glaube das ist klar(er) geworden, danke. “bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert” Du sprachst hier nachfolgend von A_mn meintest du A_ij ?  

Du musst hier immer daran denken, dass (ij), (mn) oder (kl) alles nur Platzhalter sind. Es stimmt schon, dass das Zitat in Deinem Beitrag etwas verwirrend scheint, ist es aber nicht ;) Am besten wird es verständlich, wenn man konkrete Zahlen einsetzt: "bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert" wird dann zu "bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt zB. das Element A_13, wie sehr sich die 1. Komponente von x verändert, wenn man die 3. Komponente von y variiert" Man kann also sagen: Das Element A_11 sagt, wie sehr sich die 1. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. Das Element A_21 sagt, wie sehr sich die 2. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. Das Element A_31 sagt, wie sehr sich die 3. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. Was aber, wenn man in mehr als 3 Dimensionen arbeitet? Anstatt 100 mal den gleichen Satz zu sagen, setzt man Platzhalter ein: Das Element A_11 sagt, wie sehr sich die 1. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. ... Das Element A_32,1 sagt, wie sehr sich die 32. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. Das Element A_33,1 sagt, wie sehr sich die 33. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert. ... Das Element A_m1 sagt, wie sehr sich die m. Komponente von x verändert, wenn sich die 1. Komponente von y verändert.

Oh ach so glaube habs jetzt verstanden. Dann also nochmal zum Zitat^^: bei einer Gleichung x_i = A_ij y_j, sagt das Element A_mn, wie sehr sich die m-Komponente von x verändert, wenn man die n-Komponente von y variiert. Also ist damit gemeint das man mit der m-Komponente erstmal die Komponente im Vektor festhält ("Zeile der Matrix) und danach die Frage wie die n-ten Komponenten (Spalten) aussehen/varriert werden oder?