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Hallo,
nutze, dass \(2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1}\) gilt. Mit dieser Ungleichung ist deine Aufgabe recht trivial.
Eventuell wird von dir erwartet, dass du die Ungleichung dann beweisen musst. Das ist aber auch nicht so schwierig.
Gruß,
Gauß
*Edit*: "Dennoch verstehe ich nicht, wieso obige Ungleichung gilt.
Könntest du erläutern, wieso das der der Fall ist?"
Gerne doch.
\(2\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\sqrt{n+1} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )\)
Nun erweitern wir und nutzen eine der Binomischen Formeln und erhalten:
\(\frac{1}{\sqrt{n}}\geq 2\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )=2\ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq2\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{\frac{n+1}{n}}}_{>1}+1\geq2 \ \checkmark\).
Alles Klar?
Die Umformung ja, dennoch verstehe ich immer noch nicht, wie du von der Ausgangsgleichung auf deine Ungleichung gekommen bist.
Woher kommt das 2xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>≥</mo><mn>2</mn><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo stretchy="false">⇔</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mfrac><mo>≥</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>−</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></math>">√n?
─ i3ecker 14.10.2018 um 12:02