Hallo,
das ist nicht ganz richtig. Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist erstmal nur ein Prähilbertraum.
Wir erhalten einen Hilbertraum wenn dieser mit der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig ist.
Das heißt , dass alle Cauchy-Folgen in diesem Vektorraum konvergieren. Der Grenzwert muss natürlich auch in dem Vektorraum selbst liegen.
Nun zu den stetigen Funktionen.
Vorweck jedes Element eines Vektorraums ist in erster Linie ein Vektor. Dafür muss es keine x- und y-Komponente haben.
Zum Beispiel gibt es auch einen Polynomvektorraum, der alle Polynome bis zu einem bestimmten Grad beinhält. Dort gelten die Polynome als Vektoren.
Ich finde die Formulierung etwas seltsam, muss aber auch zugeben das ich in der Uni noch nicht mit Hilberträumen zu tun hatte. Ich könnte es mir aber folgendermaßen vorstellen:
Wir können einen Vektorraum mit stetigen Funktionen erstellen. Diesen können wir mit einem Skalarprodukt versehen zum Beispiel mit
\( <f,g> = \int_b^a f(x)g(x) dx \)
dieses Skalarprodukt induziert eine Norm.
Da diese Funktionen stetig sind, sind auch ihre Integrale wieder stetig und somit konvergiert auch jede Funktionenfolge wieder in dem Vektorraum. (salopp gesagt)
Dadurch wird der Vektorraum mit dem obigen Skalarprodukt zu einem Hilbertraum.
Was meinst du?
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
"Da diese Funktionen stetig sind, sind auch ihre Integrale wieder stetig und somit konvergiert auch jede Funktionenfolge wieder in dem Vektorraum. (salopp gesagt)
Dadurch wird der Vektorraum mit dem obigen Skalarprodukt zu einem Hilbertraum."
Der letze Teil ist nicht richtig (siehe meine Antwort unten).
Gruß,
Gauß ─ carl-friedrich-gauss 19.10.2018 um 18:09