Aussagen zu Untervektoren

Aufrufe: 986     Aktiv: 06.11.2018 um 11:46
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Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (i) Sind u und v kein Element des Untervektors U, dann ist stets v-u auch kein Element von U (ii) Sind u und v keine Elemente des Untervektors, dann ist v-u ein Element von U (iii) Ist u kein Element von U, aber v ist ein Element von U, dann ist stets v-u kein Element von U Hinweis: Prüfen Sie die Aussagen zuächst an Beispielen. Ist eine Aussage falsch, geben Sie zum Widerlegen einfach ein Gegenbeispiel an.   Welche Werte kann ich dann für u und v als Beispiel nehmen?
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Hallo, ich würde als Vektorraum den \( \mathbb{R}^3 \) wählen und als UVR eine Fläche in diesem VR. Das kann man sich selbst auch am besten vorstellen. Elemente die nicht im UVR liegen sind dann Punkte unter- oder oberhalb dieser Fläche. Grüße Christian
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Ich sehe gerade, dass in der Teilaufgabe ein Vektorraum gegeben ist:

s x (2

-1)

da mussten wir auch in Koordinatensystem zeichnen. Habe jetzt einfach Punkte abgelesen die nicht im Vektorraum liegen

i)

u = (1        , v=(0

3)                1)

u-v ergibt dann

(-1

-2) und liegt somit nicht im Vektorraum (i gilt)

 

für die Aussage bei ii) haben wir damit direkt ein Gegenbeispiel gefunden

iii) u (siehe oben) v= Nullvektor Element des Vektorraumes

bei v-u kommt dann raus

(-1

-3) was ebenfalls kein Element von U ist.

 

ist das alles korrekt?

 

 

 

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Sehe ich das richtig das der Untervektorraum 1-dimensional ist, mit der Basis:

\( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Die Beispiele sind richtig.  Damit hast du für ii) ein Gegenbeispiel.

Jetzt musst du die Aussagen i) und iii) aber noch beweisen oder?

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Genau 2s und -s würde ich sagen. Also ii wäre damit erledigt. für i und iii muss ich das dann wieder generell zeigen? Aber wie soll das gehen?
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Fangen wir erstmal mit der i) an. Wir haben einen Vektorraum V mit den zwei Untervektorräumen U und W, mit der A der Basis von U und B der Basis von W. Es soll gelten \( W \cup U = V \) und \( W \cap U = \emptyset \) Sei \( b_i \in B \) und u und v zwei Vektoren die nicht in U sind, also \( u,v \in W \) Wie kann man einen Vektor allgemein mit seinen Basisvektoren darstellen? Wenn du das weißt berechne einfach mal die Differenz.
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Da bin ich mir nicht sicher... ist es Basis B= (1        Und (0 0).                  1) tut mir leid, ich weis nicht wie ich die Vektoren hier ordentlich darstellen kann..
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Im Beweis müssen wir das ganze ja allgemein gültig beweisen. Mit der Basis die du schreibst hast du schon eine bestimmte Basis gewählt. Stell den Vektor mal folgendermaßen dar: \( u = \sum_{i =1}^n u_i b_i \) Die selbe Darstellung kannst du auch für v nutzen. \( v = \sum_{i =1}^n v_i b_i \) Hierbei ist n übrigens die Dimension des UVR W. Nun bestimme mal u-v und fasse das zusammen.
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U-v=∑ni=1 (u¡-v¡)  ? Tut mir leid, ich bin echt grottig  :/
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Genau, du musst nur die ganze Rechnung aufschreiben.

\( u-v = \sum_{i=1}^n u_i b_i - \sum_{i=1}^n v_i b_i = \sum_{i=1}^n (u_i b_i - v_i b_i) =  \sum_{i=1}^n (u_i - v_i )b_i =\sum_{i=1}^n w_i b_i  \)

Wieso gilt nun

\( w \in W \)

Lass dich nicht unterkriegen. Den meisten von uns ging es am Anfang so. Man entwickelt nur durch Übung ein Gefühl für Beweise. :)

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Wo kommt denn jetzt das kleine w her? Ist w das Ergebnis von u-v?

es ist nur so frustrierend, wenn man es für später gar nicht braucht :D

    ─   feli91 06.11.2018 um 19:34
Ja genau. \(w_i= u_i-v_i \). Das w habe ich eigentlich zur Anschauung genutzt scheint aber das ich es schlimmer gemacht habe :D

Aber warum ist die Differenz jetzt in W und nicht in U ?

Man kann es an der letzten Gleichung sehen.

Ich kann das Gefühl gut verstehen. Aber Beweise nachzuvollziehen hilft enorm beim Verständnis. Aber damit sage ich dir vermutlich das was du immer hörst und das macht es auch nicht besser :p   ─   christian_strack 06.11.2018 um 19:55
Ja hey, ich habe was richtig verstanden :D

Hat das was mit dem b zu tun? Also weil b ein Element  von B ist?

    ─   feli91 06.11.2018 um 20:03
Ja genau. Die \(b_i\) stehen für die Basiselemente. Weil die Basis das kleinste Erzeugendensystem ist, muss man alle Elemente aus dem Vektorraum durch die Basiselemente darstellen können. Und da du das kannst muss dieser Vektor in W liegen und kann somit nicht in U liegen.

Der Beweis für iii) hat ähnliche Argumente. Man muss vielleicht etwas mehr erklären. Versuch es mal :)   ─   christian_strack 06.11.2018 um 22:48
Ich sehe gerade, dass wir nicht u-v rechnen sollten, sondern v-u, aber ich kann das einfach umdrehen, richtig? Dann versuche ich mich mal an der iii)

    ─   feli91 07.11.2018 um 10:20
Ja genau. Die Idee die wichtig ist, ist das du den Vektor über die Basisvektoren darstellst und das Ergebnis auch wieder durch diese darstellen kannst.   ─   christian_strack 07.11.2018 um 14:14

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Also u weiß ich ja wie ich das darstellen kann, weil es nach wie vor nicht in U sein soll, v aber schon.. wenn ich ein zahlenbeispiel nehme, sehe ich, dass die Aussage zu stimmen scheint. Reicht ja aber leider nicht... also wie stelle ich v allgemein dar?
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Ich habe oben ja die UVR U und W vom Vektorraum V. Da \( U \cup W = \emptyset \) muss  für u gelten \( u \in W \land u \notin U \) Für v gilt das umgekehrte. Jetzt können wir zwei Basen nehmen. A und B. Wir haben schon gesagt A ist die Basis von U und B ist die Basis von W. Nun kannst du u durch die Basis B und v durch die Basis A darstellen und die Differenz berechnen. Danach musst du argumentieren warum das Ergebnis nicht wieder in U ist.
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Also kein Aunung, ob das Sinn macht: u=∑ni=1 u¡b¡ und v= u¡a¡ dann ist v-u = (v-u)a¡b¡ stimmt das?
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Nein, da \( (v_i-u_i) b_i a_i = v_i a_i b_i - u_i a_i b_i \) Es gilt lediglich \( \sum_{i=1}^n (v_i a_i - u_i b_i) \) Mehr kannst du das nicht vereinfachen. Nun musst du beschreiben, warum dieser Vektor nicht in U liegen kann.    
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Puh... :D
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Also b liegt ja immer noch in B und kann somit nicht in U liegen, also kann auch u-v nicht dort liegen ?!
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Ja die Idee ist richtig. Die einzelnen Basen sind linear Unabhängig voneinander. Deshalb können wir diesen Vektor wie er da steht nur durch Basisvektoren von A darstellen wenn alle \( u_i = 0 \) sind. Dies gilt aber nur für den Nullvektor der aber wieder in allen Vektorräumen sein muss also auch in U liegt. Somit kann diese Differenz nicht wieder in U liegen wenn u nicht in U liegen soll.  
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