Hallo,
das Bild ist leider nicht dabei.
Wir haben die Funktion
\( x^5 -5x^4 +6x^3 +18x^2 -7x -13 \)
Alle rationale Nullstellen eines Polynoms können über die Form
\( \frac a b \) dargestellt werden, wobei \( \vert a \vert \) ein Teiler von \( a_0 \) ( dem kostanten Teil) und \( \vert b \vert \) ein Teiler von \( a_n\) (dem Vorfaktor des x mit der höchsten Potenz ).
Da dein Polynom normiert ist, also du eine \( 1 \) vor dem \( x^5 \) hast, musst du dir nur den konstanten Part angucken \( -13 \).
\( \vert -13 \vert = 13 \) ist eine Primzahl, hat also als Teiler nur die 1 und 13.
Also sind mögliche Kandidaten für rationale Nullstellen \( 1,-1,13,-13 \)
Diese musst du dann durch probieren. Du würdest 1 und -1 als Lösungen finden.
Nach zweimaliger Polynomdivision einmal durch (x-1) und einmal durch (x+1) erhalten wir:
\( x^3-5x^2+7x+13\)
Da wir eine weitere auch erraten müssen glauben wir daran, dass es noch eine rationale Zahl als Nullstelle geben muss ;)
Da 13 und -13 bereits ausgeschlossen wurden versuchen wir nochmal die 1 und -1 und finden heraus das -1 noch eine weitere Nullstelle ist.
Wenn du nun wieder Polynomdivison durchführst erhälst du ein Polynom 2. Grades. Dieses kannst du nun mit der p/q-Formel lösen.
Noch zu der komplexen Nullstelle. Du meintest sicher \( x_{4/5} = 3 \pm 2i \)
Löse mal die quadratische Gleichung die über bleibt. Du findest
\( x_{4/5} = 3 \pm \sqrt{-4} \)
Da aber \( i = \sqrt{-1} \) erhälst du die angegebene Lösung.
Du kannst dir auch einfach mal merken. Wenn du ein Polynom mit reellen Koeffizienten hast und eine Lösung komplex ist, so ist auch ihr komplex konjugiertes eine Nullstelle.
Grüße Christian
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