Hallo,
zu a):
Komposition differenzierbarer Funktionen sind wieder differenzierbar. Es bleibt die Diff. an der Stelle \(x=0\) zu zeigen, was du über die definition ja gemacht hast.
zu b):
\(f'(x)=\begin{cases}
2xsin\left ( \frac{1}{x} \right )-cos\left ( \frac{1}{x} \right ) & \text{ } x\neq 0 \\
0& \text{ } x= 0
\end{cases}\)
Sei nun \(\epsilon=\frac{1}{2}\), \(\delta> 0\). Wähle \(n\in\mathbb{N}\) groß genug, s.d \(x_n=\frac{1}{2n\pi}<\delta\).
So gilt nun \(\left | x_n-0 \right |=x_n<\delta\) \(\wedge \) \(\left | f'(x_n)-f'(0) \right |=\left | f'(x_n) \right |=\left | -1 \right |=1\geq \frac{1}{2}=\epsilon\).
Also ist \(f'\) nicht stetig in \(0\).
zu c):
Ich denke, hier ist eher \(g(x)\) als die Funktion \(f(x)\) quadriert gemeint, und nicht die zweite Ableitung.
Also: \(g(x)=\left ( f(x) \right )^2=f^2(x)\)
Gruß,
Gauß
Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K
Für das Folgenkriterium hätte ich eine Folge \(x_n\) mit \(x_n\rightarrow 0\) finden müssen, für die aber \(f(x_n)\nrightarrow f(0)=0\).
Ich habe allerdings mit dem Ansatz begonnen und mir so den \(\epsilon\)-\(\delta\) Beweis gebastelt.
(Da ich dachte, dass du es auf diese Weise machen wolltest.)
"wie kommst du auf die Folge?"- Du meinst \(x_n=\frac{1}{2n\pi}\)? Wenn du über das Folgenkriterium argumentieren willst, hättest du jede beliebige \(0\)-Folge nehmen können, da \(cos(\frac{1}{x})\) dann ja oszilliert (also es gibt keinen Grenzwert). Ich habe diese spezielle Folge gewählt, da dann \(\forall n\in\mathbb{N}: sin\left ( \frac{1}{x_n} \right )=0\ \wedge cos\left ( \frac{1}{x_n} \right )=-1\) ist und ich somit ganz leicht mein passendes \(\epsilon\) finden konnte.
"Und wie muss man generell ansetzen für den Epsilon-Delta-Beweis der Unstetigkeit"- Du negierst einfach die Definition der Stetigkeit. D.h. du musst zeigen, dass \(\exists \epsilon >0\ \forall \delta >0\ \exists x\in D: \left | x-x_0 \right |<\delta \ \wedge \left | f(x)-f(x_0) \right |\geq \epsilon\). ─ carl-friedrich-gauss 14.12.2018 um 20:58
Danke dir (und auch den anderen 2, das hat super viel geholfen)
Ich hab dazu noch eine Anschlussfrage: Bei der b) arbeitest du ja mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, aber wie kommst du auf die Folge? Und wie muss man generell ansetzen für den Epsilon-Delta-Beweis der Unstetigkeit, einfach anstatt Delta vorzugeben das Epsilon vorgeben?
Viele Grüße,
Ultor ─ ultor 14.12.2018 um 17:16