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Wir nehmen eine Basis von Ker(f). Damit haben wir genau die Vektoren aus V, die auf den Nullvektor abbilden. Jeder weitere Vektor aus v bildet auf einen Vektor in W ab, der nicht der Nullvektor ist.
Wie bereits erwähnt, ist der Rang einer Matrix die Dimension von Im(f).
Diese zusätzlichen Vektoren bilden einen UVR mit der selben Dimension wie Im(f).
Also haben wir eine Basis V, in der wir r-Elemente haben die ins Bild abbilden und n-r, die auf den Nullvektor abbilden.
Jetzt gucken wir uns Im(f) an. Wir erhalten die Basis von Im(f) indem wir die Basis des UVR von oben nehmen und durch die Funktion jagen. Dann haben wir die Basis \( y_1 , \ldots , y_r \). Nun können wir diese Basis durch ergänzen von m-r Elementen zu einer Basis von W ergänzen.
Ist dir überall klar warum wir das so machen können?
Nun musst du dir überlegen, was hat das mit deiner Matrix zu tun? ─ christian_strack 17.12.2018 um 19:22
Mir ist das klar!
Nun fehlt mir nur noch der Schritt, wie ich das in Zusammenhang mit der Matrix bringen kann. Wir hatten so eine schöne Skizze in der Vorlesung, dass rechts die n-r Spalten und unten die m-r Zeilen sind (also hat der Block unten rechts (n-r)*(m-r) Einträge).
Aber warum das so ist, verstehe ich leider noch nicht ganz.
─ tisterfrimster 17.12.2018 um 19:52Für eine beliebige lineare Abbildung haben wir die beiden Basen konstruiert. Nehmen wir aber eine bestimmte Abbildung, so haben wir ja einen eindeutigen Kern, bzw ein eindeutiges Bild.
Jetzt überlege dir erstmal welche Basiselemente von den oben genannten Schritten durch die Einheitsmatrix abgebildet wird und vorallem auf welche?
Und warum müssen die anderen Basiselemente auf den Nullvektor abgebildet werden? ─ christian_strack 17.12.2018 um 20:12
Das sind doch die y1 bis yr, die auf die Einheitsmatrix abgebildet werden? Was meinst du mit welche? Dass es eine Einheitsmatrix der Größe r x r ist?
Die anderen werden doch auf den Nullvektor abgebildet, weil wir das am Beginn mit dem Kern so festgelegt haben?
─ tisterfrimster 17.12.2018 um 21:07Worauf ich hinaus will. Im Bild sind alle Vektoren die tatsächlich von der Abbildung angenommen werden.
Von unserer Basis \( \{ x_1 , \ldots , x_n \) seien die ersten r Elemente, diese Vektoren, die die Vektoren die nicht im Kern sind erzeugen. Also diese die wir im zweiten Schritt ergänzt haben.
Im ersten Schritt für die Basis von W haben wir die Vektoren genommen, die von der Abbildung f durch die Basisvektoren \( x_1, \ldots , x_r \) angenommen werden. Das seien die Vektoren \( y_1 , \ldots , y_r \). Da diese Vektoren bereits unsere Basisvektoren sind reicht die Einheitsmatrix oben als Block um von der einen in die andere Basis abzubilden.
Multiplizieren wir die Matrix A mit dem Vektor
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \)
erhalten wir den selben jedoch im Vektorraum W. Im Vektorraum V ist das genau der erste Basisvektor der Basis von V und in W der erste Basisvektor der Basis von W.
Das ganze können wir auch mit der 1 an der zweiten Stelle machen usw. bis hin zur r-ten Stelle. Danach erhalten wir immer den Nullvektor.
Jetzt vergleich das ganze wieder mit der Abbildung. Warum wollen wir nur von den ersten r-Basiselementen von V auf die ersten r Basiselemente von W abbilden?
Und warum auf kein anderes Basiselement?
Darunter kann ich mir leider überhaupt nichts vorstellen (ich weiß schon, was Kern, Bild, Basisergänzung, etc. ist, nur eben nicht, wie ich hier konkret vorgehen muss) und wäre dankbar, wenn mir das entschlüsselt werden könnte. Vielen Dank! ─ tisterfrimster 17.12.2018 um 16:34