Lineare Programmierung Quartalsabsatz Überstunden

Erste Frage Aufrufe: 971     Aktiv: 18.12.2018 um 18:43
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Aufgabe 1: Produktionsprogrammplanung/Lineare Optimierung (adaptiert aus Winston, Operations Research) Sailco Corporation muss entscheiden, wie viel Segelboote in jedem der nächsten vier Quartale produziert werden sollen (ein Quartal = drei Monate). Die Nachfrage während jedes der nächsten vier Quartale ist wie folgt:
Quartal:
1
2
3
4
Nachfrage: (Segelboote)
40
60
75
25
Sailco muss die Nachfrage zeitgerecht erfüllen. Zu Beginn des ersten Quartals hat Sailco einen Bestand von zehn Booten. Zu Beginn eines jeden Quartals muss entschieden werden, wie viele Segelboote während dieses Quartals produziert werden sollen. Es sei unterstellt, dass die Segelboote, die während eines Quartals gefertigt werden, noch im selben Quartal abgesetzt werden können. In jedem Quartal kann Sailco bis zu 40 Segelboote für $400 in Normal-Arbeitszeit herstellen. Im Rahmen von Überstunden können zusätzliche Boote zu $450 je Boot hergestellt werden. Am Ende eines jeden Quartals (nach Produktion und Erfüllung der Nachfrage) entstehen Lagerkosten von $20 je Segelboot. Formulieren Sie ein lineares Programm, um ein Produktionsprogramm zu bestimmen, welches die Summe aus Produktions- und Lagerkosten minimiert!
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Hallo, Daniel hat zur linearen Optimierung eine ganze Playlist. Ich bin heute leider viel unterwegs. Guck mal ob es dir hilft ansonsten schreib nochmal. Ich gucke heute Abend nochmal rein. Grüße Christian
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Hallo Christian, danke für deine schnelle Antwort! :) Ich habe den Großteil der Videos bereits gesehen und die haben mir bei den anderen Aufgaben schon sehr geholfen... Bei der Aufgabe fehlt mir allerdings der Ansatz aufgrund der Quartale und der verschiedenen Arbeitszeiten. Grüße Maxi
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So, die Idee die ich hier hätte wäre das du aus den 4 Quartalen 4 Ungleichungen bastelst. Die Variablen a,b,c und d stehen für die Anzahl an Schiffen die du durch Überstunden bauen lassen musst.

Man kann davon ausgehen, das jedes Quartal die 20 Schiffe für 400$ auf jeden Fall gebaut werden, da wir ja die geforderte Anzahl mindestens erfüllen müssen.

Unsere Ungleichungen würde sich also folgendermaßen ergeben

\( 40+60+75+25 = 200 \)

Wir starten mit 10 Schiffen und erhalten 20 für 400$. Wir brauchen nicht mehr als 200 Schiffe.
\(I. 10 + 20 + a \\= a+30 \leq 200 \)

Wir brauchten für das erste Quartal 40 Schiffe. Also muss a mindestens 10 sein. Alle weiteren übernehmen wir für das nächste Quartal. Es müssen nur noch maximal 160 Schiffe produziert werden.
\(II. 20+ a - 10 + b\\ = a+b+10 \leq 160 \)

\(III. 20+a+b-50+c \\= a+b+c-30 \leq 100 \)

\(IV. a+b+c+d -85 \leq 25 \)

Habe das zum Ende hin etwas abgekürzt.

Es ergibt sich zusammengefasst

\(a \leq 170 \)
\( a+b \leq 150 \)
\( a+b+c \leq 130 \)
\( a+b+c+d \leq 110 \)

Die Gewinnfunktion die wir aufstellen Stünde dann für den Preis der gezahlt werden muss, Er setzt sich zusammen aus Lager und Produktion. Es gilt

\( 80 \cdot 400 + 450(a+b+c+d) + 20(a-10+a+b-50+a+b+c-105) \\= 510a + 490b +470c+450d+28700 \)

Darauf könntest du dann das Simplex-Verfahren anwenden.

Was meinst du dazu?

Grüße Christian

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Hallo Christian, für mich klingt das alles logisch und sollte so passen. Allerdings kann man ja 40 schiffe pro Quartal für 400 € herstellen oder habe ich da was vergessen? Das zu übertragen bekomme ich aber hin. ;) Vielen Dank für deinen Lösungsansatz, hat mir sehr weitergeholfen! Grüße Maxi.  
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Oh du hast absolut recht. Hatte irgendwie die ganze Zeit 20 im Kopf.

Sehr gut. Freut mich zu hören. :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 20.12.2018 um 19:10

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