Hallo,
hmm also warum A eine 4x4 Matrix sein soll ist mir nicht klar. Da \( f \in End(V) \) und \( V= Mat_2(K) \) ist kann A ja nicht plötzlich eine 4x4 Matrix sein. Es macht auch nur Sinn wenn A eine 2x2 Matrix ist, da ja \( A \cdot B = ^tB \) gelten soll. Und dies gilt für quadratische Matrizen nur wenn beides nxn Matrizen sind.
Am besten fragst du einmal nach ob dort ein Fehler vorliegt.
Ich kann es dir ja mal am 2x2 Fall erklären.
Die Matrix A bestimmst du indem du dir eine Matrix
\( A = \begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix} \)
nimmst un die Matrixmultiplikation mit B einmal durchführst. Das Ergebnis muss die transponierte von B sein. Daraus kannst du dann für w,x,y und z ein Gleichungssystem aufbauen. Daraus erhälst du A.
Die Determinante einer 2x2 Matrix ist dir sicher geläufig
\( det(B) = ad-bc \)
Ab 4x4 Matrizen musst du die Determinante entweder mit dem Gauß-verfahren lösen, oder mit dem Laplacschen Entwicklungssatz ( https://www.youtube.com/watch?v=AnezNBuRkEY ).
Zur Charakteristik wird dir vermutlich was auffallen wenn du die Eigenwerte bestimmt hast. Ich habe es noch nicht durch gerechnet. Kann es nachher gerne mal tun.
Grüße Christian
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