Hallo,

doch diese Aussage stimmt. Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Wenn ein Polynom eine komplexe Nullstelle hat, so ist auch ihr komplex konjugiertes Nullstelle des Polynoms. Das ist zwar kein Beweis aber anschaulich kannst du dir das an der p/q-Formel klar machen. 
\( \lambda_{1/2} = - \frac p 2 \pm \sqrt{\left( \frac p 2 \right)^2 - q } \)
Wenn du nun eine komplexe Nullstelle hast ist die Diskriminante \( \Delta \) negativ und wir können die Formel folgendermaßen umschreiben. 
\( \lambda_{1/2} = - \frac p 2 \pm i \sqrt{\Delta} \)
Mit \( a = - \frac p 2 \) und \( b = \sqrt{\Delta} \) haben wir dann
\( \lambda_{1/2}= a \pm ib \)

Es stimmt auch für 1x1 Matrizen, denn haben wir die 1x1-Matrix \( (a)\), so ist ihr charakteristisches Polynom \( \chi_a(\lambda) = \lambda - a  \). 
Also ist \( a \) selbst einziger Eigenwert. Da aber \( (a) \) eine reelle Matrix ist, ist \( a \) als Eigenwert natürlich auch reell.

Der Beweis deiner Aussage musst du wie gesagt über das charakteristische Polynom beweisen. Da \( z \) Eigenwert ist gilt für das charakteristische Polynom \( \chi(z ) = 0 \).
Da \( 0 = \overline{0} \)
Muss man dann mit der Definition der komplex konjugierten zeigen, das bei einem reellen Polynom \( \overline{\chi(z)} = \chi(\overline{z}) \) gilt

Grüße Christian