Hallo,

die Assoziativität bezieht sich auf die Verknüpfung. Da wir die Verknüpfung der Obergruppe übernehmen, ist diese auch automatisch assoziativ. 
Da auch automatisch \( U \subseteq G \), müssen wir nur zeigen das in dieser Teilmenge \( U \) noch das Inverse zu jedem Element ist und das die Verknüpfung zweier Elemente wieder in der Teilmenge liegt ( Abgeschlossenheit bzgl der Verknüpfung).
Durch diese beiden Eigenschaften wird auch automatisch das neutrale Element gewährleistet, da 

\( a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U \Rightarrow e = a \circ a^{-1} \in U \)

Die Struktur ähnelt sich wohl, aber Modulo ist eine Operation die für Skalare definiert ist. In Gruppen müssen wir nicht zwangsläufig mit Skalaren rechnen. Also ist das erstmal nicht das selbe.
Eine Restklasse ist eine spezielle Nebenklasse. 

Grüße Christian