Hallo,

wie ich dir schon bei deiner letzten Frage gesagt habe, brauchst du bei der Überprüfung einer Untergruppe keine Assozitivität zeigen. Somit auch keine Kommutativität. 

Die Assoziativität und Kommutativität beziehen sich jeweils auf Verknüpfung. Da wir bereits eine abelsche Obergruppe haben, ist unsere Untergruppe auch automatische abelsch. Insofern es denn eine Untergruppe ist.

Deine Untergruppenkriterien sind 

1. \( a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U \)
2. \( a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U \)

Das Zweite gilt bereits, da für deine Untergruppe \( x = x^{-1} \) gilt ist natürlich automatisch das Inverse in der Untergruppe.

Nun musst du noch die Abgeschlossenheit zeigen. Überlege dir dafür mal folgendes. Für welche Elemente gilt denn ganz allgemein \( x= x^{-1} \) ? 

Grüße Christian

Ok, stimmt ist mir dann auch aufgefallen. 

Die Abgeschlossenheit weiß ich nicht wie ich sie zeigen soll. x=x^-1 gilt nur, wenn es für alle anderen Elemente aus der Gruppe gilt oder?

Deine Untergruppe \( U \) besteht nur aus Elementen aus \( G \) für die die Einschränkung \( x = x^{-1} \) gilt.

Für welche der Elemente aus \( G \) gilt das denn? Du kannst es sofort angeben. 

Grüße Christian

Für x und x^-1

Ne das meine ich nicht. Es gibt in jeder Gruppe nur ein einziges Element, das gleich ihrem Inversen ist, also \( x = x^{-1} \).

Welches Element ist das?

Grüße Christian

Das neutrale Element.

Genau. Also besteht \( U \) nur aus dem neutralen Element von \( (G,  * ) \). Was ergibt dann \( e * e \) ?

Grüße Christian

Das müsste dann e sein oder?

Genau. Und da nur \( e \) in der Gruppe liegt, gilt 

\( e* e = e \in U \)

Und damit ist G auch abgeschlossen bzgl. \( * \)

Grüße Christian