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Hallo,
das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist wie folgt definiert
\( \vert u \vert ^2 = u \cdot \overline{u} \)
Das Betragsquadrat ist also das Produkt als komplexer und komplex konjugierter Zahl. Wenden wir das auf deine Gleichung an, erhalten wir
\( \vert z + w \vert ^2 = (z+w) \cdot (\overline{z+w}) = (z+w) \cdot (\overline{z} + \overline{w}) = z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w} = \vert z \vert ^2 + \vert w \vert ^2 + z\overline{w} + \overline{z}w \)
Ist damit der Beweis klar? Ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
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Bei komplexen Zahlen ist durch das \(i \) der Betrag so definiert, da er so den Abstand zum Ursprung wiederspiegelt.
Zu deiner Frage:
Es wird ausgenutzt, dass
\( \overline{z\overline{w}} = \overline{z} \ \overline{\overline{w}} = \overline{z}w \)
gilt, und wir dann
\( z\overline{w} + \overline{z}w = z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} \)
haben. Nun ist die Summe einer komplexen Zahl und ihrer komplex konjugierten immer der doppelte Realteil der komplexen Zahl, da
\( z + \overline{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a = 2Re(z) \)
Grüße Christian
─ christian_strack 09.02.2019 um 20:11Erleuchutng. Vielen Dank :)
─ berkalp 12.02.2019 um 17:06
Ok ich verstehe. Ich habe
\(\vert z + w \vert^{2} = \vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert\)
gedacht. Und so kam ich auf
\( \vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert = (\sqrt{z \overline{z}} + \sqrt{w \overline{w}}) \cdot (\sqrt{z \overline{z}} + \sqrt{w \overline{w}})\)
weil ja \(\vert z \vert = \sqrt{z \overline{z}}\)
und landete bei
\(\vert z + w \vert \cdot \vert z + w \vert = \sqrt{z \overline{z}}^{2} + 2 \cdot \sqrt{z \overline{z}} \cdot \sqrt{w \overline{w}} + \sqrt{w \overline{w}}^{2}\)
was mich nicht weiterbrachte.
Jetzt hab ich noch eine Frage hierzu.
Wie aus ... + \(z \overline{w} + \overline{z} w \)
... + \( 2 \cdot Re(z \overline{w}) \) wird.
Also um genauer zu sein, wie deduziert werden kann, dass \(z \overline{w}\) dem Realteil entspricht.
─ berkalp 09.02.2019 um 17:46