Hallo,

wenn in einem Satz steht "genau dann wenn" musst du die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen, also

\( \varphi \text{ ist injektiv} \Leftrightarrow \ker(\varphi) = \{e_G\} \)

Fangen wir mit "\(\Rightarrow\)" an

Die Definition des Kerns eines Gruppenhomomorphismus ist 

\( \ker(\varphi) =\varphi^{-1} (e_H) \) für \( \varphi: G \mapsto H \)

Also sind im Kern alle Elemente die auf das neutrale Element der Bildmenge abbilden. 

Injektiv heißt \( f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \) 

Bekommst du es damit zusammen gebastelt?

Für die andere Richtung nimmst du an, das es zwei Elemente aus G gibt, die auf das selbe Element in H abbilden, also

\( g, \overline{g} \in G , h \in H \) mit \( \varphi(g) = \varphi(\overline{g}) = h \)

Nun bestimme mal \( \varphi(g * \overline{g}^{-1} ) \)

Du musst einen Widerspruch erzeugen.

Grüße Christian