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Hallo,
die linke Ungleichung ist schnell gezeigt. Klammere es doch mal komplett aus. Du erhälst
\( 2n + 2 \leq n^2 +2n +1 -1 \\ 2n + 2 \leq n^2 +2n \\ 2 \leq n^2 \)
Und dies gilt natürlich für alle \( n \geq 4 \).
Nun musst du noch zeigen \( (n+1)^2 -1 \leq 2^{n+1} - 1 \\ (n+1)^2 \leq 2\cdot 2^n \)
Als Tipp dafür. Schätze \( (n+1)^2 \) nach oben ab, mit
\( (n+1)^2 < n^2 + n^2 \)
Wenn du gezeigt hast, das die Abschätzung gilt, gilt auch die Ungleichung, da dann
\( n^2 + n^2 \leq 2 \cdot 2^n = 2^n + 2^n \\ n^2 \leq 2^n \)
direkt durch die Induktionsvorraussetzung erfüllt wird.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Genau, aber das gezeigte gilt nur für \( n \geq 2 \). Da wir aber es aber nur für \( n \geq 4 \) zeigen müssen, gilt die Abschätzung. Würde es einmal kurz erwähnen :)
Grüße Christian
─ christian_strack 19.02.2019 um 18:35
Danke.
Reichte es die Geltung der Abschätzung so zu zeigen.
\((n+1)^2 = n^2 + 2n+1-1 = n^2 + 2n < n^2 + n^2, \text{ da n^2 > 2n}\)
─ berkalp 18.02.2019 um 14:08