Ne lineare ungleichungssysteme

Wie sieht ein lösungsintervall aus? 

Ein Ungleichungssystem mit zwei Variablen, würde man am einfachsten graphisch lösen

Haben wir beispielsweise die Ungleichung

\( 3y + 6x < 12 \) 

stellen wir diese Ungleichung nach \( y \) um, erhalten wir

\( y < -2x + 4 \) 

Das ganze kannst du dir nun wie eine Gerade vorstellen. Wenn du die Gerade \( y = -2x + 4 \) zeichnen würdest, wären durch das \( < \) alle Werte die unterhalb unserer Geraden liegen Lösungen der Ungleichung
Analog wäre bei \( > \) alles oberhalb der Geraden eine Lösung. 

Wenn du nun zwei Ungleichungen hast, stellst du das selbe mit der anderen Ungleichung an. 

Die Schnittmenge dieser Lösungen sind dann unser Lösungsintervall des Systems.

Es gibt aber auch noch den Fall das ganze algebraisch aufzulösen. Hier muss man verschiedene Fälle betrachten. 

Wir stellen wieder beide Ungleichungen um. Wenn nun beide Ungleichungen der Form

\( y < \ldots \) 

sind, so müssen wir lediglich gucken, welche rechte Seite der Ungleichungen kleiner ist. Analog, wenn beide Ungleichungen der Form \( y > \ldots \) sind.

Nun kommt der dritte Fall, dass die Ungleichungen ein umgekehrtes Vergleichszeichen haben.

\( y < 3x +2 \\ y > -2x +4 \)

Nun muss y genau zwischen \( 3x +2 \) und \( -2x + 4 \) liegen. Also setzen wir

\( -2x + 4 < 3x + 2 \\ \Rightarrow 2 < 5x \\ \Rightarrow \frac 2 5 < x \). 

Wir erhalten also die Lösungen 

\( x \in (\frac 2 5 , \infty) \)

Das Lösungsintervall für y ist dann 

\( -2x + 4 < y < 3x + 2 \)

Ich habe hier das ganze mit 3 Unbekannten vorgerechnet. Kannst da ja auch nochmal reingucken.

Wenn sich noch Fragen auftun, melde dich nochmal

Grüße Christian