Hallo,
was hast du den probiert? Du musst zuerst die Likelihood Funktion aufstellen über
\( L(\lambda \vert x) = \prod_{i}^n f(x_i) \)
Grüße Christian
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Hallo,
du bist etwas zu schnell mit dem Logarithmus.
Die Likelihood Funktion sieht erstmal folgendermaßen aus
\( \prod_i^n \lambda e^{- \lambda x_i} = \lambda ^n \prod_i^n e^{- \lambda x_i } = \lambda ^n \cdot e^{\sum_i^n - \lambda x_i} = \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \sum_i^n x_i} = \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \overline{x} } \)
Mit dem artihmetischen Mittel \( \overline{x} \)
Um nun das Extremum dieser Funktion zu bestimmen, greifen wir auf den log-likelihood zurück. Das dürfen wir, da der Logarithmus die Stelle des Extremums erhält ( also den x-Wert).
Wir wenden also den Logarithmus an und erhalten
\( \mathfrak{L} = \ln(L(\lambda \vert x )) = \ln ( \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \overline{x} } ) \\ = n \ln(\lambda) + \ln(e^{-n \lambda \overline{x} }) = n \ln (\lambda) - n \lambda \overline{x} \)
Diese Funktion leiten wir nun ab und setzen diese gleich Null
\( \frac {d \mathfrak{L}} {d \lambda} = \frac n {\lambda} - n \overline{x} = 0 \)
Du erhälst also
\( \lambda = \frac 1 {\overline{x}} \)
Grüße Christian
─ christian_strack 07.04.2019 um 14:37
Hey,
danke für die Antwort! Sorry für die späte Antwort, ich hatte ein kleines technisches Problem mit dem kommentieren.
Ich habe die Funktion gebildet
L(λ|x)xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>λ</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∏</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">=∏niλ
exp(-λx)
=\(sum_{i=1}^n\)ln(xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>λ</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∏</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">λ
exp(-λx))
Ab hier komme ich leider beim umstellen oder Ableiten nur auf Unsinn wie -λxxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>λ</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∏</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">λexp(λx). Ich wäre super dankbar für einen Schubs in die richtige Richtung. :)
Danke und Grüße!
edit: Formelcode richtig geschrieben