Behauptung: 

Sei \( [0] \ne [a] \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \). [a] besitzt genau dann ein Inverses wenn ein \(b \in \mathbb{Z}\)  existiert mit der Eigenschaft dass n die Zahl ab-1 teilt.

Beweis:

1. Sei [b] das Inverse zu [a]. Dann gilt \([a] \cdot [b] = \text{ Rest von } a \cdot b=[1]. \) Also \( a \cdot b=q\cdot n+1 \) oder \( a\cdot b-1=q\cdot n. \) Also existiert ein \( b \in \mathbb{Z} \), so dass \( n \) die Zahl \( ab-1 \) teilt.

2. Sei nun \(b\in\mathbb{Z}\) , so dass \( n \) die Zahl \(ab-1 \) teilt. Es gilt also \( ab-1=q'n \) oder \( ab=q'n+1.\)

Sei nun \(b=sn+r, 0\leq r \leq n-1 \). Division mit Rest. Dann gilt \([a][r]=\text{Rest von} ar.\) Es ist aber

\(ab=a(sn+r)=asn+ar=q'n+1\)

Also gilt:  \(ar=(q'-as)n+1\)

Wegen Eindeutigkeit des Rests und der Zahl \( (q'-as) \) folgt \([a][r]=\text{Rest von ar}=[1]\). Also hat \([a]\) ein Inverses.

q.e.d

Implikation 1 ist mir eigentlich klar, aber Implikation 2 verwirrt mich. Weshalb muss b nochmal in eine andere Zahl aufgeteilt werden? Ich dachte es reicht zu zeigen \(ab-1=q'n  \leftrightarrow ab=q'n+1 \). Daraus folgt doch dass bei der Division von ab durch n der Rest 1 bleibt, und da 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist folgt so doch sofort die Behauptung dass es zu a ein Inverses gibt. Was zeigen die Schritte danach genau? Das verstehe ich leider nicht ganz.