Hallo,

nein das kann man so nicht sagen. Es besteht natürlich ein Zusammenhang, da wir lineare Abhängigkeit durch das Lösen von einem LGS überprüfen, aber die Gleichheit stimmt nicht.

Wir erstellen ein homogenes LGS, wenn wir beispielsweise Vektoren auf lineare abhängigkeit überprüfen wollen. Die Lösung ist dann ausschlaggebend dafür, ob die Vektoren nun linear abhängig sind oder nicht. 
Wie du sicher schon selbst gesehen hast, existieren auch homogene Gleichungssysteme, die nur vom Nullvektor gelöst werden können (also nur die triviale Lösung haben). Überbestimmte Gleichungssysteme, haben selten eine andere Lösung als die triviale, was bedeutet dass das LGS homogen ist, aber die Vektoren linear unabhängig.

Wenn wir überprüfen wollen, ob ein Vektor von anderen erzeugt wird, so können wir ein inhomogenes LGS erzeugen. Aber auch hier muss die Lösung zuerst bestimmt werden, um eine Aussage darüber zu treffen ob lineare Unabhängigkeit besteht.

Ich hoffe ich konnte die Frage ausreichend klären.

Grüße Christian