Komplexe Matrix Unitär

Aufrufe: 924     Aktiv: 30.05.2019 um 21:05
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a) Für welche α ∈ C ist die komplexe Matrix 
  a    1/2

1/2    a 

unitär? 

b) Seien n ∈ N und U, V ∈ Rn×n orthogonal. Welche der folgenden Aussagen sind 
wahr? Beweisen Sie Ihre Antwort, wenn möglich mit Gegenbeispielen. 

1) U ist symmetrisch.

2) Rang(U) = n.

 3) U V^ T 
ist orthogonal. 



c) Sei E2 die kanonische Basis des R2 
 Zeigen Sie, dass die Bilinearform b : R2×R2 → R durch Matrixdarstellung 

MbE2:

2  3

4  9 

positiv definit ist. 

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Hallo,

gehen wir es mal durch.

a)

Weißt du was unitär bedeutet?

Du kannst das am einfachsten über die Determinante überprüfen. Die Determinante einer unitären Matrix ergibt immer 1.

b)

Ist dir klar was Orthogonalität bedeutet?

Die erste Aussage stimmt nicht. Findest du ein Gegenbeispiel?

Die zweite Aussage stimmt. Was bringt es mit sich wenn eine Matrix vollen Rang hat?

Die dritte Aussage stimmt auch. Dafür zeigst du, dass

\( ( U \cdot V^T)^{-1} = (U \cdot V^T)^T \)

ist. 

c) 

Die positive Definitheit, lässt sich bei 2x2 Matrizen leicht über die Determinante zeigen. Was muss gelten, damit eine 2x2 Matrix positiv definit ist?

Grüße Christian

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