Hallo,

an die Aufgabe gehst du folgendermaßen heran. 

Du hast eine lineare Abbildung vorliegen. Also gilt für deine Abbildung \( f \) 

\( f(ax+by) = af(x) + bf(y) \)

Nun hast du gegeben, dass

\( f(1,2) = (4,5,0,3) \\ f(3,1) = (7,5,5,-1) \)

Jetzt bilden wir vom \( \mathbb{R}^2 \) ab. Wir haben bereits zwei linear unabhängige Vektoren aus dem \( \mathbb{R}^2 \) gegeben, nämlich \( (1,2) \) und \( (3,1) \) und wir kennen ihre zugehörigen Funktionswerte.
Wir nehmen uns aus der ersten Frage den Vektor \( ( 2,11) \) und teilen diesen in unsere ersten beiden Vektoren auf.

\( a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \end{pmatrix} \)

Dadurch erhälst du das LGS

\( a+3b = 2 \\ 2a + b = 11 \)

Wenn du das LGS gelöst hast, kommt unsere Eigenschaft der linearen Abbildung ins Spiel. Es gilt

\( f(2,11) = f(a(1,2) + b(3,1)) = af(1,2) +bf(3,1) = a(4,5,0,3) + b(7,5,5,-1) \)

Wenn du dann die angegebene Lösung erhälst, ist die Aussage richtig. 

Grüße Christian