Vereinfachen von Termen

Erste Frage Aufrufe: 1065     Aktiv: 22.06.2019 um 09:20
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Hi Leute, übe gerade Wurzel- und Potenzgetze. Bin auf eine Aufgabe gestoßen bei welcher -je nach Lösungweg- man zwar die gleichen Ergebnisse erhält, diese jedoch unterschiedliche Vorzeichen haben. Würde mich über eine Rückmeldung freuen. Danke!
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Hallo,

das ist ein sehr beliebter Fehler bei Wurzeln! :)

Es gilt:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Oft sieht man Leute schreiben:

$$\sqrt{x^2}=x$$

Das ist aber schlichtweg falsch, denn:

$$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$$

ist richtig und definitiv NICHT:

$$\sqrt{(-3)^2}=-3.$$

Die Wurzelfunktion bildet positive Zahlen nämlich auf positive Zahlen ab! :)

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Noch ist mir des Rätsels Lösung nicht ganz klar :)
Könntest du schreiben, was das bei dieser konkreten Aufgabe bedeutet? Bei welchem Schritt habe ich welchen Fehler gemacht?   ─   polyeder 21.06.2019 um 16:37
Wenn Du die Wurzel ziehst, so musst Du immer an das Ergebnis noch ein \(\displaystyle \pm\) dranhängen … In Deinem Fall kommt also – ohne Fallunterscheidung – \(\displaystyle \frac{1}{x^3}\), aber, da Du ja die Wurzel gezogen hast und beim Quadrieren eine \(\displaystyle -1\) bekanntermaßen wieder zu einer \(\displaystyle 1\) wird und Du somit quasi mit dem Neutralelement der Multiplikation gearbeitet hast, noch ein \(\displaystyle -\) hinschreiben musst. Also \(\displaystyle \pm\frac{1}{x^3}\)!   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 16:52
Das ist leider so nicht richtig.
@einmalmathe: Deine Aussage trifft zu für \(x^2 = a \to x_{1,2} = \pm\sqrt a\)
Beim Wurzel ziehen eines Terms hingegen, ist nur die positive Lösung geltend!   ─   orthando 21.06.2019 um 16:55

Du hast mich falsch verstanden … lies Dir meinen Kommentar nochmal durch … NACH dem Wurzelziehen … Ich schreibe explizit noch an das ERGEBNIS … Ich beziehe mich in keiner Weise an den Radikanden!

Mir ist klar, dass bei einem Term nur die positive Lösung angegeben wird, weil man automatisch auf die negative Lösung verweist, also stimmt Deine Aussage in dieser Form nicht!   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 16:56
Lies dir meinen Kommentar nochmal durch. Das passt so nicht ;). Beim Vereinfachen eines Terms sind wir nur am positiven Ergebnis interessiert.

Vllt hilft dir auch meine Antwort weiter :).   ─   orthando 21.06.2019 um 16:59
Nochmal zum Mitschreiben: es gilt immer, dass \(\displaystyle x^2 = a\Leftrightarrow x = \pm\sqrt{a}\). Immer, egal was man machen will – IMMER. Bei Termen wird aber dies nie so angegeben – aber es gilt weiter. Es ist eine einfache Äquivalenzrelation, sprich das Quadrieren muss wieder die Ausgangsgleichung angeben. Na? Richtig! Die \(\displaystyle -1\) macht bei geraden Potenzen nichts aus – demnach auch nicht bei \(\displaystyle (\cdots)^2\) …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 17:01
Zu Deinem Nachtrag:
"Mir ist klar, dass bei einem Term nur die positive Lösung angegeben wird, weil man automatisch auf die negative Lösung verweist, also stimmt Deine Aussage in dieser Form nicht! "

Nein, dem ist nicht so. \(sqrt 4 = 2\)! Hingegen \(x^2 = 4 \to x_{1,2} = \pm\sqrt 4 = \pm2\)

Ok? :)   ─   orthando 21.06.2019 um 17:01

Nein, \(\displaystyle \sqrt{4} = \pm 2\)). Punkt. Wenn man aber Terme vereinfacht, so schreibt man dies nicht hin, weil es klar ist.
   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 17:01

Ich glaube, dass ihr beide Recht habt! :)Die Wurzel-Funktion spuckt natürlich nur den positiven Wert aus. Das drückt der Betrag aus. Dass ich dahinter \(\pm\) geschrieben habe, war glaube ich nicht ganz richtig. Aber der Betrag von \(x\) hat dann beide Lösungen, also \(\pm x\). Stimmt ihr mir da zu? :)
   ─   endlich verständlich 21.06.2019 um 17:04
Ja, es geht mir einfach nur darum, dass das \(\displaystyle \pm\) nicht immer hingeschrieben wird, weil es klar ist, dass dies gilt. \(\displaystyle \sqrt{x^2} = x\) stimmt nur für \(\displaystyle x\geq 0\) in dieser Form, wobei es für ganz \(\displaystyle \mathbb{R}\) gilt. Aber es ist völlig offenkundig, dass \(\displaystyle \sqrt{x^2} = \vert x\vert = \pm x\) gilt, wenn man aber nur mit \(\displaystyle x\) rechnet, dass ist es natürlich einfach und übersichtlicher … Er behauptet, dass dies falsch sei. Na dann …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 17:07
Das \(\displaystyle \pm\): Wenn die Zahl \(\displaystyle <0\) ist, dann natürlich das \(\displaystyle -\), sonst das \(\displaystyle +\) …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 17:10
@einmalmathe: Nun stimmst du mir ja doch zu. Beim Wurzel ziehen gibt es nur eine Lösung. Das ist \(\sqrt{x^2} = |x|\), welches je nach \(x\) entweder positiv oder negativ ist. Vllt hast du uns da missverstanden? ;)

@endlich verständlich: Es geht nicht darum, dass die Wurzel nur einen positiven Wert ausspuckt (das ist sowieso klar, nehme ich an), es geht darum, dass du behauptet hattest, dass es beim Wurzel ziehen zwei Lösungen gibt. Das ist nicht der Fall. Das haben wir nur bei Gleichungen. Einverstanden?   ─   orthando 21.06.2019 um 17:15
@einmalmathe Da ich erst seit Kurzem in dieser App angemeldet bin und aufgrund dessen mit der Terminologie sowie der „Kodierung“ die du benutzt nicht vertraut bin, ist es nicht ganz nachzuvollziehen, was du meinst.
Könntest Du einfach einmal handschriftlich zeigen, was Du meinst?
Das wäre sehr hilfreich.
Danke im Voraus :)   ─   polyeder 21.06.2019 um 17:29
@ortando: Ja genau, beim Wurzel ziehen selbst gibt es eine eindeutige Lösung: Den Betrag von \(x\). Wird das aber vergessen, dann passieren schlimme Dinge :D   ─   endlich verständlich 21.06.2019 um 17:52
Ich hab meine Antwort nochmal überarbeitet. Ich glaube so wird das eigentliche Problem deutlich. :)   ─   endlich verständlich 21.06.2019 um 17:55
@orthonando: Es gibt stets zwei Lösungen – die Lösung ist nicht eindeutig, sie unterscheidet sich im Vorzeichen. Somit hast Du meine Aussage bestätigt. Ist denn \(\displaystyle \sqrt{25} = +5\). Ja. Nicht nur, sondern auch \(\displaystyle -5\), denn es gilt: \(\displaystyle (-5)^2 = (-1)^2\cdot 5^2 = 25\). Die Lösung ist nicht eindeutig, sie ist einfach nur \(\displaystyle \vert \pm 5\vert\). Du musst Dich präziser ausdrücken!   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 21:28
Es geht hier nicht um \(x_1 = -5\) und \(x_2 = 5\), welche die Gleichung \(x^2 = 25\) lösen, sondern es geht (in abgewandelter Form) um das Ergebnis von \(\sqrt{25}\), welches per Definition ausschließlich \(5\) ist.
Wenn Du meinen Worten schon keinen Glauben schenkst, dann vllt wikipedia?
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen
   ─   orthando 21.06.2019 um 21:38

Ach so meinst Du es … ich habe die ganze Zeit so in Richtung Gleichung gedacht. Ja, das ist mir schon klar, denn \(\displaystyle \sqrt{x} \geq 0\) für \(\displaystyle x\geq 0\), das weiß ich schon …
   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 21:51
Und außerdem, \(\displaystyle \sqrt{(-x)^6} = \frac{1}{\vert x^3\vert}\) und nur darum geht es mir … und wieder bestätigst Du mir meine Aussage, denn würde man es ignorieren, so wie Du es sagst, dann könnte plötzlich die Wurzel aus einer Zahl doch negativ sein … Daher auch der Betrag – verstehst Du es jetzt?   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 21:55
Ich hatte mehrfach darauf hingewiesen, dass es um Termvereinfachung (wie in der Fragestellung) geht und nicht um das Lösen von Gleichungen, wie Du hier nachlesen kannst. Dass Du das alles weißt hab ich mir gedacht und ja, der Betrag ist notwendig. Führt aber nur zu einer Lösung und nicht deren zwei ;) (auch wenn die Lösung je nach x unterschiedlich aussieht).
Aber freut mich, dass wir nun am selben Bahnhof stehen :D.   ─   orthando 21.06.2019 um 22:02

Der Betrag verweist auf die andere Lösung … Du bist doch Student, Du müsstest doch verstehen, was ich hier schreibe … * \(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{0\}\).
   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 22:03
\(\sqrt{x^2} = |x| = \pm x\)
Eine "Lösung" - wobei für x>0 haben wir x und für x < 0 haben wir -x.
\(x^2 = 1\)
\(x_{1,2} = \pm1\)
Zwei Lösungen

Ein Term hat beim Wurzel ziehen nur eine "Lösung", den positiven Teil.
Eine quadratische Gleichung kann über Wurzel ziehen gelöst werden und hat zwei Lösungen.

Können wir uns darauf einigen? Ansonsten verweise ich weiterhin auf die Wikipedia...
(Und ich bin ernst...)   ─   orthando 21.06.2019 um 22:11
Es muss die Gleichheit gelten – wir können nicht einfach einen Teil der möglichen Lösungen auslassen … bilde doch mal die Ableitung von \(\displaystyle \vert x\vert\) und Du wirst sehen, dass wir uns nicht auf Deinen Kommentar einigen können, denn es gilt: \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\vert x\vert = \ldots = \frac{x}{\vert x\vert}\) …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 22:13
Wenn also \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) ist, so ist \(\displaystyle \sqrt{x^2} = \vert x\vert\) – das ist so, auch wenn es nur ein Term ist, wäre es falsch zu sagen, dass \(\displaystyle \sqrt{x^2} = x\). In der Aufgabenstellung ist keine Einschränkung für das \(\displaystyle x\) ggb, wonach wir also davon ausgehen können, dass es sich hierbei um die reellen Zahlen handelt … Es ist nur ein Term, aber es muss \(\displaystyle \vert x\vert\) lauten … sowie bei \(\displaystyle 2\cdot\ln(x)\) für \(\displaystyle x \neq 0\) – dies ist falsch, denn es muss lauten: \(\displaystyle 2\cdot\ln\vert x\vert = \ln(x^2)\) … also auch nur ein (Funktions-)Term … und wieder spielt der Betrag eine Rolle …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 22:17
Unglaublich Oo. Du liest schon was ich schreibe?
\(\sqrt{x^2} = |x|\) ist richtig. Das habe ich nirgends bestritten und steht oft genug in meinen Beiträgen.
Was ich bestreite ist zu behaupten:
\(\sqrt{x^2} = x\)
und (!!!)
\(\sqrt{x^2} = -x\)
Das ist falsch.
Es ist
\(\sqrt{x^2} = x \) für \(x\geq0\) und (!) \(\sqrt{x^2} = -x\) für \(x<0\).
Im ersten Fall werden zwei Lösungen proklamiert. Im zweiten Teil ist es nur eine Fallunterscheidung, gibt aber letztlich nur eine Lösung.   ─   orthando 21.06.2019 um 22:23
Nicht frech werden … Wieso ich das ganze hier schreibe ist, dass Du den Betrag weglässt (auf die Frage bezogen) – da sage ich, dass es falsch ist. Du sagst, es wäre egal. Ist es nicht, denn wir wissen nicht was für Einschränkungen es für das \(\displaystyle x\) gibt, daher müssen wir vom allgemeinen Fall \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}\) ausgehen. Dann zu sagen, man müsse den Betrag nicht anwenden, ist falsch. Schau Dir mal lieber, ob Du meine Beträge und Gedankengänge verstehst, denn ich habe Dich in keinster Art und Weise angefahren (das mit dem „Bleibe ernst“ ist auf die Bahnhof-Aussage bezogen – die ist ein wenig salopp formuliert …).   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 22:49
Ich habe auch nicht geschrieben, dass \(\displaystyle x = -x\) ist, sondern dass \(\displaystyle x^2 = (-x)^2\). Du willst eine Termvereinfachung durchführen und dabei noch, logischerweise, die Gleichheit wahren. Richtig. Mit Deinem Vorgehen aber: falsch. Schaue Dir bitte nochmal das Beispiel mit dem \(\displaystyle \ln(\cdots)\) an, dann sollte es Dir eigentlich klar werden. Lesen und verstehen, sich nicht jetzt hier aufregen und falsche Sachen behaupten …   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 22:51
Falsche Behauptungen wirfst Du mir hier an den Kopf. Auch werde ich als Student deklassiert, "der das hier doch verstehen müsste". Wenn Du jetzt also die "pass auf was Du schreibst"-Karte ziehst, solltest Du anfangen!
Ich opfere hier meinen Abend um mir falsche Vorwürfe anzuhören und wollte (zu Beginn) nur helfen bzw. mittlerweile nur schauen wo Du hängst.

Zu den falschen Vorwürfen:
Wo behaupte ich, dass der Betrag nicht hingehört? Wenn Du tatsächlich meine Beiträge gelesen hast, müsstest Du sehen, dass ich bei den Beispielen den Betrag hinzugezogen habe. Siehe auch meinen Beitrag vor den Deinigen wie auch bei meiner Antwort den letzten fachlichen Beitrag.
Ich zitiere auch nochmal beispielhaft aus meinem Beitrag hier vor dem Deinen "\(\sqrt{x^2} = |x|\) ist richtig". Und ich hatte nie anderes behauptet.

Um dem einen erneuten Versuch zu geben, das zu beenden (daher der Bahnhof, das war als Auflockerung gemeint, auch wenn ich zugebe, bei sowas nicht bekannt dafür zu sein, gut darin zu sein :P):
Ich respektiere Deine Beiträge und finde sie sehr gut und sympathisch, aber ich glaube hier reden wir aneinander vorbei und treffen jeweils nicht den Nerv des anderen (fachlichen Nerv....andere Nerven scheinen wir sehr wohl zielgetreu zu treffen).

Gute Nacht?   ─   orthando 21.06.2019 um 23:00
Ein Fakt für den Gaumen: Ich rege mich nicht auf, Du schon und das kann man sehr deutlich sehen. Du interpretierst wieder irgendwelche „Pass auf was Du schreibst“-Käse (sorry für den Ausdruck) rein, ob ich das schrieben habe? Nein. Ich habe keine Lust die ganzen Kommentare mir hier durchzulesen, aber ich habe aus dem ganzen Chaos verstanden, dass Du meinst, dass \(\displaystyle \sqrt{(-x)^6} = \frac{1}{\vert x^3\vert}\) falsch sei bzw. man den Betrag an dieser Stelle weglassen könnte. Dann habe ich entsprechend argumentiert. Mag sein, dass Du in der ganzen Aufregung und ich im ganzen Missverständnis, verstanden hast, dass dieser Wikipedia-Eintrag falsch ist, nein ist er natürlich nicht.

Mal anders: Ziel von mir war das folgende:

\(\displaystyle \sqrt{\cdots} = \cdots\).

Was ich von Dir irgendwie verstanden habe (kein genauer Wortlaut):

„Den Betrag kann man weglassen, weil …“.

Hier hacke ich ein und will sagen, dass wir das ohne Weiteres nicht machen dürfen (Stichwort \(\displaystyle x\)) und dass dies nichts mit Term oder Gleichung zu tun hat, sondern was mit Rechenregeln usw. Dann (so habe ich es zumindest verstanden …) sagst Du, dass ich dabei einen Fehler mache (nicht, dass die Betragsgeschichte nicht stimmt, sondern, dass man sie hier auslassen kann). Ich sehe aber keinen Fehler, nicht weil ich von Gott erschaffen wurde um den Leuten die Kunst der Mathematik näher zu bringen, sondern weil es einfach so „die Mathematik vorschreibt“. Ich verstand einfach nicht, was Du mit den Termen usw. wolltest und das war einfach sehr verwirrend. Wäre hier \(\displaystyle x>0\) (und nichts anderes) so kann man natürlich Betrag natürlich ignorieren, wenn \(\displaystyle <0\) dann einfach ein \(\displaystyle (-)\) davor setzen. Wenn beides erlaubt ist, dann \(\displaystyle \vert\cdots\vert\). So, da wir aber nicht wissen, was nun für das Argument gilt, so müssen wir einfach von der größtmöglichen Definitionsmenge ausgehen, also vom letzteren Fall. Daher auch meine feurige Argumentation für das Betrags-Märchen. Ich verstehe aber wieder, dass es falsch sei und dass man die Bijektivität der Wurzelfkt. hier ausnutzt usw. Das hat aber nichts damit zu tun, dass wir für den letzteren Fall der Defi.Menge einfach den Betrag benutzen müssen. Nicht, weil ich das sage, sondern es die Mathematik uns so lehrt (Personifizierung). So, verstehst Du es jetzt? Ich habe von Dir die ganze Zeit gedacht, dass Du sagst, man müssen den Betrag einfach nicht setzen, jetzt kannst Du lesen, wieso ich da anderer Meinung war. Deine Auflockerung ging nach hinten los (man fühlt sich irgendwie, naja, verarsch (sorry) wenn man liest, „wir stehen am selben Bahnhof“ – wtf, was für Bahnhof?).

Beenden muss man hier gar nichts, wir müssen einfach vom Fall ausgehen, dass wir es hier mit der beschrieben Defi.Menge zu tun haben. Daher auch \(\displaystyle \sqrt{x^2} = \vert x\vert\) – da steht nirgendwo, was für \(\displaystyle x\) gilt, man geht einfach von der größtmöglichen Defi.Menge aus (also in diesem Fall \(\displaystyle \mathbb{R}\)) [insofern natürlich nicht anders vorgegeben].

Du kannst natürlich weiter argumentieren, das kannst Du wirklich (kein Sarkasmus!) gut, aber ich finde, es macht Sinn hier von dem von mir beschriebenen Fall auszugehen (nicht weil ich es so sage, sondern weil es so, glaube ich, von ganz vielen angegangen wäre). Im Übrigen: Die Sache mit dem „Du bist doch Student …“, das war im wahrsten Sinne des Wortes so gemeint, ich wollte Dir nur sagen, dass wir nicht ohne Weiteres Deine Behauptung nehmen können … wieso also Deine ganze Raserei? Unnötig.   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 23:27
Amüsant, dass Du mir unterstellst mich aufzuregen oder gar rasend zu sein Oo. Und das auch noch mit der Behauptung man kann es deutlich lesen^^. Aber lassen wir das.

Dein \(\displaystyle \sqrt{(-x)^6} = \frac{1}{\vert x^3\vert}\) hatte ich nirgends bestritten (das hast Du also aus dem ganzen Chaos falsch interpretiert). Und dass ein Betrag dazugehört hab ich nun hoffentlich oft genug betont und bestätigt. Mehr kann ich nicht tun. Das einzige was ich getan hab, war Dein "\displaystyle \sqrt{(-x)^6} = \pm\frac{1}{x^3}" anzuzweifeln. Und das nur einmal, weil ich davon ausging, dass Du auf den Fragesteller eingegangen bist und die Umformung von ihm gemeint hast und nicht die Wurzelauflösung (und Vorsicht, dass sind hier zwei verschiedene Dinge!). Danach kam nie wieder etwas diesbzgl.

Aber ich glaube ich sehe nun, wo wir aneinander vorbeireden und will es noch einmal kurz zusammenfassen, damit das hoffentlich vom Tisch ist.
Fragesteller (in leicht abgewandelter Form wegen der Schreibarbeit):
Erster Weg:
\(\sqrt{(-x)^6} = (-x)^{\frac62} = (-x)^3 = -x^3\)
Zweiter Weg:
\(\sqrt{(-x)^6} = \sqrt{x^6} = x^3\)

Und dann kam von "endlich verständlich" der Hinweis (Antwort mittlerweile geändert), dass ein \(\pm\) hinzugefügt werden muss und man zwei Lösungen erhält. Ich dachte Du greifst das auf. Dabei hatten "endlich verständlich", der Fragesteller und ich stillschweigend (zumindest hab ich es nicht moniert) angenommen (und ja, ich unterstelle das), dass \(x>0\), was nicht unüblich bei solchen Aufgaben ist, und dann hat Dein Kommentar nicht gepasst.
Dass hier eigentlich noch ein Betrag hingehört ist eine zusätzliche Baustelle, die mit dem ersten Problem des Fragestellers erstmal nichts zu tun hat.
Und wenn Du doch nochmals einen Blick auf ieinen meiner Posts wirfst -> Ich habe den Betrag immer verwendet ;) (und nie(!!) bestritten, dass dieser nicht hingehört, egal wie oft Du das noch unterstellst).

(Das mit dem Bahnhof war übrigens so gemeint "Wir reden aneinander vorbei und verstehen nur "Bahnhof" voneinander. Nun stehen wir am selben Bahnhof. Aber ich sehe ein, dass das etwas weit hergeholt ist :D. Ich sag ja, dass ich für sowas nicht eigne)   ─   orthando 21.06.2019 um 23:58
Ach so, ja dann passt es doch, hättest es halt gleich so schreiben können. Meine Güte, ich unterstelle Dir nichts, sondern Du hast nicht gesagt, dass ich dazuschreiben sollte, dass ich mich nicht auf den Fragesteller beziehe … mein Gott, ich dachte, Du würdest es verstehen … naja, das nächste Mal einfach genau das Problem ansprechen und nicht mit „unterstellen“ und Wikipedia-Links argumentieren, ab da wusste ich einfach nicht, was Du meinst.   ─   einmalmathe 22.06.2019 um 00:01

Kurzer Nachtrag: Man kann so einen sarkastischen Unterton bei Dir feststellen (als es brenzlich wurde) und, dass Du auf einmal halt diese Emojis an eher für Dich untypischen Stellen setzt (Da liest ja jemand meine Beträge durch. oO). Na ja, warst halt sauer und aufgeregt, und daher auch mein Spruch, man konnte es deutlich sehen. Aber ein bisschen aufgebracht warst Du schon, muss man zugeben. Aber ich argumentiere auch recht trocken und ohne detailliert zu schreiben, was die Auseinandersetzung begünstigt hatte … Damit sage ich nicht, dass Du das angefangen hast, sondern es eher an meinem Kommentar lag, und, dass Du halt nicht nachgefragt hast, was ich genau meine und, nochmals, ich es einfach nicht dazu geschrieben habe. Auch war die Rede von Nerven (also den richtigen Nerv treffen und auf die Nerven gehen), was meiner Behauptung ebenfalls als Argument gedient hat.
   ─   einmalmathe 22.06.2019 um 00:05
Ich hatte mehrfach geschrieben um was es mir ging. Wie mehrfach festgestellt, hast Du meine Beiträge aber nicht gelesen, sondern nur interpretiert. Schade.

Schön (und interessant), dass Du nach einem Gespräch weißt wo für mich "tyische und untypische" Stellen von Smileys sitzen. Aber natürlich werde ich nächstes Mal nachfragen, was Du genau meinst, auch wenn ich mehrfach geschrieben habe, um was es mir ging...   ─   orthando 22.06.2019 um 09:20

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Berücksichtige die Priorität. Die Klammer steht über der Potenz, weswegen du erst den Wert innerhalb der Wurzel errechnen musst (und damit das Vorzeichen verrechnest).

 

Das hast du beim zweiten Teil berücksichtigt ;).

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Danke, das leuchtet mit ein!   ─   polyeder 21.06.2019 um 17:03
Wobei - bei genauerer Überlegung - auch das nicht sein kann. Es ist ja nicht zwingend notwendig, Klammern unter Wurzeln auszumultiplizieren, bevor man die Wurzel zieht. Es ist beispielsweise bei einer Klammer, die unter einer Wurzel steht und deren Exponent 4 ist, ihren Exponenten durch den Wurzelsxponenten zu teilen.
Wodurch am Ende die Klammer mit dem Exponenten 2 übeigbleibt. Dies zeigt doch, dass das Ausmultiplizieren einer Klammer unter einer Wurzel nicht obligatorisch ist.   ─   polyeder 21.06.2019 um 17:42
Nur weil es da egal ist, heißt es nicht, dass es nicht trotzdem obligatorisch ist, bzw man nicht aufpassen muss.

So ist bspw \(1+1:1 = 2\), egal ob man die Punkt- vor Strichrechnung ignoriert oder nicht. Die Punkt- vor Strichrechnung gilt dennoch :).   ─   orthando 21.06.2019 um 17:56
Hast recht :)
Wann ist das Ausmultiplizieren denn notwendig und wann nicht?   ─   polyeder 21.06.2019 um 18:02
Was meinst du mit Ausmultiplizieren?
Ich würde einfach immer von innen nach außen arbeiten, dann gibt es keine Probleme ;).   ─   orthando 21.06.2019 um 18:15
\( \sqrt{(3ab)^4} \) ist ja (3ab)^2.   ─   polyeder 21.06.2019 um 18:50
Genau. Was man vllt auch noch umschreiben kann zu \(9(ab)^2\). Je nachdem was einem lieber ist.   ─   orthando 21.06.2019 um 18:59
\( \sqrt{(a+b)^2} \) ist ja \( (a+b) \) Wenn ich zunächst die Klammer unter der Wurzel ausrechenen würde, so würde ich \( sqrt{a^2+2ab+b^2} \) erhalten. Hier würde es beispielsweise sogar keinen Sinn machen zu Beginn die Klammer aufzulösen und danach die Wurzel zu ziehen.
Auch bei meinem vorhin genannten Beispiel \( sqrt{(3ab)^4}=(3ab)^2 \) ist es nicht vonnöten, zunächst das auszurechnen, was unter der Wurzel steht. Deshalb war meine Frage, ob Du mir Beispiele nennen kannst, wo das Gesetz greift, dass man zunächst das ausrechnen muss, was in Klammern unter der Wurzel steht :)   ─   polyeder 21.06.2019 um 21:15
Wir haben oben doch ein Beispiel wo es nötig ist ;). "endlich verständlich" hat ein weiteres Beispiel gezeigt.
In erster Linie geht es um Radikanden, indem etwas negatives quadriert wird. Dein Beispiel erweitert:
\(\sqrt{(-(a+b))^2} = |a+b|\), denn erst wird das Minus mit dem Quadrat verrechnet und dann die Wurzel aufgelöst.
Bei den Beispielen von dir ist es wieder wie bei \(1+1:1 = 2\). Hier braucht man die Punkt- vor Strichrechnung nicht, da in beiden Fällen das Ziel zu erreichen ist. Sie gilt dennoch^^.   ─   orthando 21.06.2019 um 21:24
Alles klar, vielen Dank :)   ─   polyeder 21.06.2019 um 21:42
Gerne :)   ─   orthando 21.06.2019 um 21:49

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