Hallo,

ich hoffe ich verstehe dich richtig.

Du meinst warum bei der DGL 

\( y'(x) = \sin(x) \cdot y(x) + \sin(x) \)

nicht zuerst die homogene Lösung berechnet wurde, sondern der Ansatz 

\( y'(x) = \sin(x) (y(x) +1) \)

gewählt wird?

Du darst auch zuerst die homogene Lösung berechnen. Musst danach dann aber noch die spezielle berechnen. Dadurch das wir hier die selbe Störfunktion haben wie den Koeffzienten, können wir diese Funktion ausklammern und so \( y \) und \( x \) separieren. 

\( y'(x) = u(x) \cdot v(y) \), mit \( u(x) = \sin(x) \) und \( v(y) = y+1 \)

Immer wenn du \( y \) und \( x \) so separieren kannst, bietet sich das Verfahren der Trennung der Variablen an. 

\( y'(x) = \frac {dy} {dx} = u(x) \cdot v(y) \\ \Rightarrow \frac 1 {v(y)} dy = u(x) dx \)

Dadurch ersparst du dir zusätzlich noch die Berechnung der speziellen Lösung, denn du erhälst hier sofort die komplette Lösung der DGL. 

Grüße Christian