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Hallo,
ein Polynom vom Grad \( n \leq 2 \) hat die allgemeine Form
\( p(x) = a + bx + cx^2 \)
Nun sind \( \{1,x,x^2\} \) unsere Basisvektoren. Wir könnten die allgemeine Form auch als Vektor schreiben
\( p = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)
Nun ist unsere Abbildung
\( L(p) = p'' + 4 p' +3p \)
also berechnen wir doch mal \( p' \) und \( p'' \)
\( p'(x) = b+ 2cx \\ p''(x) = 2c \)
nochmal als Vektoren
\( p' = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 0 \end{pmatrix} \\ p'' = \begin{pmatrix} 2c \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Damit berechnet sich \( L(p) \) zu?
Nun hast du eine Abbildungsmatrix \( M \), für die gilt
\( M \cdot p = L(p) \)
Nun nehmen wir die 3 Basisvektoren
\( 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
und berechnen ihre Bilder \( L(1), L(x) \) und \( L(x^2) \). Für deine Abbildungsmatrix gilt dann
\( \begin{pmatrix} \vert & \vert & \vert \\ L(1) & L(x) & L(x^2) \\ \vert & \vert & \vert \end{pmatrix} \)
Achtung, wir bilden hier von der Standardbasis des Vektorraums der Polynome in die Standardbasis ab. Würden wir das nicht, so müssten wir die Bilder unserer Basisvektoren, noch als Linearkombinationen unserer neuen Basis schreiben und die Koeffizienten spaltenweise in die Matrix eintragen.
Grüße Christian
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