Hallo,

\( f^{-1}([-1 ,2 ]) \) soll bestimmt werden. Nun gibt es kein Element aus den reellen Zahlen, das durch \( f(x) = x^2 \) auf das Intervall \( [-1,0) \) abbildet. Also reicht es sich das Intervall \( [0,2] \) anzugucken. 

Das Urbild hat die Definiton

\( f^{-1}(M) := \{ x \in A | f(x) \in M \}\), wobei A unsere Definitonsmenge ist.

Es ist wichtig, das für das Urbild keine Umkehrfunktion gebildet werden muss, da diese nur existiert wenn die Funktion bijektiv ist. Wir können uns hier einfach überlegen, welche Element auf unser gesuchtes Intervall abgebildet werden. 
Wir haben die Funktion \( f(x) = x^2 \). Da wir hier quadrieren, gibt es sowohl negative als auch positive Werte, die auf unser positives Intervall abgebildet werden, denn sowohl \( (-\sqrt{2})^2 = 2 \), als auch \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) bilden auf die \( 2 \) ab. Also sind das schon mal unsere Randpunkte des Intervalls. Alles dazwischen wird auf Elemente zwischen \( 0 \) und \( 2 \) abgebildet. 
So kommen wir also auf \( f^{-1}([-1,2]) = f^{-1}([0,2]) = [-\sqrt{2} , \sqrt{2}] \) 

Grüße Christian

Vielen lieben dank christian!!