Guten Tag, 

Ich habe folgendes Problem, 

ich habe eine Funktion \(f : \mathbb{R}^2 \to  \mathbb{R}^2\) mit \(f(x) = x_{1}^{2} + \frac{1}{4} \cdot x_{2}^{4}\)

und soll jetzt für das ungedämpfte Newton-Verfahren, ( bedeutet Schrittweite ist 1)  für einen beliegigen Startwert \(x^{0} \in \mathbb{R}^2\) Konvergenz gegen den Minimierer \((x_{1}^{*},x_{2}^{*})^T =  (0,0)^T\) zeigen. Das habe ich auch geschafft, indem ich mir jeweils eine Folge für \( x_{1}\) und \(x_{2}\) konstruiert habe und gezeigt habe, dass die jeweils gegen \(0\) konvergieren. 
Die beiden Folgen sind folgendermaßen konstruiert, sodass \((x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1})^{T} = (x_{1}^{k},x_{2}^{k})^{T} - p^{k}\), wobei \(p^{k}\) die Lösung des Gleichungssystems \( \nabla^{2}f(x^{k}) \cdot p^{k} = \nabla f(x^{k}) \) ist. Damit ergeben sich die Folgen \(x_{1}^{k+1} = x_{1}^{k} - x_{1}^{k}\), welche offensichtlich schon nach der ersten Iteration Null wird und sich danach nicht mehr ändert und die zweite Folge \(x_{2}^{k+1} = x_{2}^{k} - \frac{1}{3} \cdot x_{2}^{k}  = (\frac{2}{3})^{k} \cdot x_{2}^{0}\) welche auch offensichtlich für beliebigen Startwert gegen \(0\) konvergiert.

Jetzt muss ich aber auch noch die Konvergenzordnung (Konvergenzgeschwindigkeit) der Iterierten im k-ten Schritt bestimmen und da komme ich nicht wirklich weiter. Wenn da jemand einen Ansatz hätte wäre ich dankbar.