Hallo,

ich versuche es dir mal anhand des Vektorraums zu erklären die restlichen Gedanken sind analog übertragbar.

Die Idee ist es aus einem Homomorphismus einen Isomorphismus zu machen, also eine eindeutig umkehrbaren (bijektiven) Homomorphismus. 

Wenn wir nun unseren Wertebereich unseres Homomorphismuses auf unsere Bildmenge einschränken, haben wir automatisch einen Epimorphismus (surjektiv).

Nun müssen wir noch unseren Definitionsbereich einschränken. Da unser Homomorphismus noch nicht injektiv sein muss, gibt es möglicherweise \( v_1 , v_2 \) mit \( v_1 \neq v_2 \) und \( f(v_1) = f(v_2) \). Da wir einen Homomorphismus haben, gilt

\( 0 = f(v_1) - f(v_2) = f(v_1 - v_2) \)

Genau solche Elemente sollen auch noch rausfliegen. Durch Nebenklassen kann man Äquivalenzklassen erstellen und das ist die Idee hinter den Faktorräumen \( ( V /{ker(f)} )\).

Zusammengefasst ist es möglich zu dem Homomorphismus \( \varphi : V \to W \) einen Isomorphismus \( \tilde{\varphi} :  {V}/ {ker(f)} \to im(\varphi) \) zu finden

Grüße Christian