Doppelintegral Begrenzung

Aufrufe: 713     Aktiv: 30.07.2019 um 16:02
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Hallo, ich habe bei egal welcher Aufgabe, immer Probleme die Begrenzung eines Doppelintegrals festzustellen, wenn diese als Gebiet angegeben ist. Danach ist es meistens kein Problem mehr.

Die Aufgabe lautet, dass Volumen von folgendem mithilfe von Polarkoordinaten zu errechnen:

Kn = {(x,y,z) ∈R3 : 0 ≤ z ≤ sin(x2 + y2), 2nπ ≤ x2 + y2 ≤ (2n + 1)π}

Kann mir jemand erklären, wie ich auf die Begrenzung der Integrale komme...?

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Allgemein sollte man bei mehrfachintegralen immer zuerst die abhängigen variablen integrale integrieren. Bei polarkoordinaten integriert man nach Radius, Z-achse und umdrehung, daher kann man sich das immer ganz gut vorstellen als ein zweidimensionales Gebilde welches man um eine achse dreht und damit einen runden Körper erzeugt. Z ist ja gegeben von 0 bis sinus von x^2 + y^2. x^2 + y^2 ist definert zwischen 2 pi mal n und 2 pi mal n + 1. Daher denke ich das du das als r ansehen kannst und dann von 0 bis sinus(r) dz integrierst dann nach dr von 2 pi bis 2 pi + 1 und dann die entsprechende umdrehung in der regel von 0 bis 2 pi. Hoffe das hilft dir.   ─   Simon 26.07.2019 um 11:49
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Hallo,

wie Simon schon richtig sagt, nutzen wir in den Polarkoordinaten einen Radius einen Winkel und eine Höhe. 
Die Höhe haben wir auch in kartesischen Koordinaten (z). 

Für den Radius gilt \( x^2 + y^2 = r^2 \Rightarrow \sqrt {x^2+y^2} = r \). 

Dadurch können wir die Einschränkungen folgendermaßen umschreiben

\( K_n := \{(r, \varphi , z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \leq z \leq \sin(r^2) , 2n\pi \leq r^2 \leq (2n+1)\pi \} \)

Damit geht der Radius von \( \sqrt{2n\pi} \) bis \( \sqrt{(2n+1)\pi } \). 

Ansonsten stimmt aber alles was Simon gesagt hat. Ich hoffe die Antwort kommt nicht zu spät, ich war "leider" im Urlaub.

Grüße Christian

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