Hallo

das Fundamentalsystem ist

\( \{ e^{3x} , xe^{3x} , e^{3x} \sin(4x) , e^{3x} \cos(4x) \} \)

Unser Ansatz ist der Exponentialansatz, also \( y(x) = e^{ \lambda x} \). 

An \( e^{3x} \) sehen wir das \( \lambda = 3 \) schon mal Nullstelle des char. Polynoms ist. 

Bei einer mehrfachen Nullstelle, nehmen wir folgenden Ansatz

\( \left( \sum_{k=0}^n x^k \right) e^{\lambda_i x} \) 

Wir haben \( e^{3x} ( 1+ x) \), also ist \( \lambda = 3 \) eine doppelte Nullstelle.

Nun zum Sinus/Kosinus Part. Wenn unser char. Polynom eine komplexe Nullstelle hat ( hier \( 3 + 4i \)), so ist ihr komplex konjugiertes auch eine Nullstelle ( also \( 3- 4i \)) des Polynoms. Wir haben jetzt 2 Möglichkeiten diese Nullstelle als Lösung darzustellen

\( C_1 e^{3+4i} +  C_2 e^{3-4i} \)

oder durch Sinus und Kosinus als

\( e^{3x} (D_1 \cos(4x) + D_2 \sin(4x) ) \) 

Die zweite Darstellung nutzt man, um eine reelle Lösung zu erzeugen. 

Wenn es zu den Ansätzen noch Fragen gibt, melde dich ruhig deswegen. 

Nun zum auftsllen des Polynoms.

Wir wissen die Nullstellen sind

\( \lambda_{1/2} = 3 , \ \lambda_3 = 3+4i , \ \lambda_4 = 3-4i \)

Für jede Nullstelle nehmen wir jetzt das passende Polynom, das durch die jeweilige Nullstelle zu Null wird

\( p( \lambda ) = ( \lambda -3) ( \lambda -3) (\lambda - (3+4i)) ( \lambda - (3-4i)) \)

Es gilt \( \lambda - (3+4i)) (\lambda - (3-4i)) = ( \lambda^2 - \lambda (3+4i) - \lambda (3-4i) + (9 + 16)) \\ = ( \lambda ^2 - 2 \cdot 3 \lambda + 9 + 16) = ((\lambda -3)^2 + 16) \)

Und so kommen letztendlich auf das Polynom

\( p( \lambda) = ( \lambda -3 )^2 ((\lambda -3)^2 + 16) \)

Grüße Christian