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Hallo,
du siehst das schon richtig, das der Ausdruck \( \frac{dx} {dy} \) im Allgemeinen nicht als Bruch gehandhabt werden darf.
Es gibt einen mathematischen Beweis der uns in diesem Fall erlaubt so zu tun als wäre es ein Bruch.
Den Ausdruck als normalen Bruch zu behandeln ist also nur Konvention und mathematisch nicht 100% exakt.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Es ist eine Multiplikation. \( dx \) also ein Differenzial steht für infinitesimale Änderungen. In der Physik steht das \( dx \) auch häufig für tatsächlich vorhandene Schwankungen eines Wertes. Das totale Differential ist dann beispielsweise ein Maß für die Änderung des Funktionswertes in alle Raumrichtungen oder wenn gemessene Werte betrachtet werden ein Maß für die Schwankung der Messwerte.
Ich weiß nicht ob du dich schon mit Riemann Integralen und Ober- bzw Untersummen auseinander gesetzt hast. Aber dabei wird das Integral über kleine Rechteecke hergeleitet die im Grenzfall die Breite \( dx \) haben. Also steht das im Sinne des Integrals auch für kleine Differenzen.
Integrieren bezieht sich aber wirklich nur auf das Rechnen mit einem Integral nicht im allgemeinen auf \( dx \).
Grüße Christian ─ christian_strack 19.09.2019 um 18:18
Ich weiß nicht ob du dich schon mit Riemann Integralen und Ober- bzw Untersummen auseinander gesetzt hast. Aber dabei wird das Integral über kleine Rechteecke hergeleitet die im Grenzfall die Breite \( dx \) haben. Also steht das im Sinne des Integrals auch für kleine Differenzen.
Integrieren bezieht sich aber wirklich nur auf das Rechnen mit einem Integral nicht im allgemeinen auf \( dx \).
Grüße Christian ─ christian_strack 19.09.2019 um 18:18
Ich kann gut verstehen dass das Differential sehr verwirrend ist. Das Differential wird je nach Kontext mit unterschiedlicher Strenge behandelt. Meistens ist es nur noch aus konventionellen Gründen dabei.
Das Differential wurde das erste mal in der Infinitesimalrechnung definiert. Dabei steht das Differential für den linearen Anteil des Zuwachses einer Variable bzw Funktion und für einen unendlich kleinen Abschnitt auf einer Koordinatenachse.
Als die Analysis später über Grenzwertbetrachtungen neu definiert wurde, verlor das Differential seine elementare Bedeutung für die Differential und Integralrechnung.
In diesem Kontext hat \( \mathrm{d}x \) nur eine Bedeutung entweder in Verbindung mit dem Integral \( \int f(x) \mathrm{d}x \) oder im Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \). Alleine steht es nur für eine Änderung in eine Richtung (partielles Differential) oder in alle (totales Differential).
In Teilgebieten wie der Differentialgeometrie und der Nichtstandardanalysis wurden Differentiale nochmal neu definiert.
Wenn wir uns den Begriff des totalen Differentials angucken, steht \( \mathrm{d}x \) für eine Änderung. Deshalb multiplizieren wir dort mit \( \mathrm{d}x \).
Wenn wir nun aber ein Integral vorliegen haben, steht das \( \mathrm{d}x \) als Notation dafür über welche Achse infinitesimal summiert (also integriert) wird.
Im Differntialquotienten haben wir das Verhältnis aus zwei unendlich kleine Änderungen der Funktion und der Variablen (also eine Steigung in einem Punkt).
Unendlich klein bedeutet aber gegen Null und das ist nicht direkt ein Ausdruck mit dem man in der Analysis immer rechnen kann.
Ich hoffe das gibt dir ein besseres Gefühl dafür wie man mit dem Differential umgeht.
Grüße Christian ─ christian_strack 20.09.2019 um 19:48
Das Differential wurde das erste mal in der Infinitesimalrechnung definiert. Dabei steht das Differential für den linearen Anteil des Zuwachses einer Variable bzw Funktion und für einen unendlich kleinen Abschnitt auf einer Koordinatenachse.
Als die Analysis später über Grenzwertbetrachtungen neu definiert wurde, verlor das Differential seine elementare Bedeutung für die Differential und Integralrechnung.
In diesem Kontext hat \( \mathrm{d}x \) nur eine Bedeutung entweder in Verbindung mit dem Integral \( \int f(x) \mathrm{d}x \) oder im Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \). Alleine steht es nur für eine Änderung in eine Richtung (partielles Differential) oder in alle (totales Differential).
In Teilgebieten wie der Differentialgeometrie und der Nichtstandardanalysis wurden Differentiale nochmal neu definiert.
Wenn wir uns den Begriff des totalen Differentials angucken, steht \( \mathrm{d}x \) für eine Änderung. Deshalb multiplizieren wir dort mit \( \mathrm{d}x \).
Wenn wir nun aber ein Integral vorliegen haben, steht das \( \mathrm{d}x \) als Notation dafür über welche Achse infinitesimal summiert (also integriert) wird.
Im Differntialquotienten haben wir das Verhältnis aus zwei unendlich kleine Änderungen der Funktion und der Variablen (also eine Steigung in einem Punkt).
Unendlich klein bedeutet aber gegen Null und das ist nicht direkt ein Ausdruck mit dem man in der Analysis immer rechnen kann.
Ich hoffe das gibt dir ein besseres Gefühl dafür wie man mit dem Differential umgeht.
Grüße Christian ─ christian_strack 20.09.2019 um 19:48
Ich habe gesehen du hast noch eine neue Frage aufgemacht.
Wenn du noch Rückfragen hast, poste sie bitte hier rein.
Was genau ist dir an der Erklärung nicht klar geworden? Hapert es nur an dem Unterschied von Infinitesimalrechnung und Grenzwertbetrachtung?
Du musst für das Differential leider akzeptieren das es bestimmte Anwendungen gibt die aus rein konventionellen Gründen bestehen.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.09.2019 um 10:42
Wenn du noch Rückfragen hast, poste sie bitte hier rein.
Was genau ist dir an der Erklärung nicht klar geworden? Hapert es nur an dem Unterschied von Infinitesimalrechnung und Grenzwertbetrachtung?
Du musst für das Differential leider akzeptieren das es bestimmte Anwendungen gibt die aus rein konventionellen Gründen bestehen.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.09.2019 um 10:42
\( u'(t) \) ist keine Konstante und wird auch nicht aus dem Integral herausgezogen.
Am einfachsten kann man sich das ganze vielleicht über das totale Differential klar machen
\( df = \sum \frac {\partial f} {\partial x_i} dx_i \)
Wenn \( f \) nur von einer Variable abhängig ist, vereinfacht sich das ganze mit \( x_1 = t \) zu
\( df = \frac {\partial f} {\partial t} dt \)
Ausgehend vom Integral
\( \int_a^b f(x) dx \)
substituieren wir unsere Variable durch \( x := \varphi(t) \). Dann können wir das totale Differential \( dx \) berechnen
\( dx = d\varphi = \frac {\partial \varphi(t)} {\partial t} dt \)
Nun ist aber da \( \varphi(t) \) nur von \( t \) abhängt, ist
\( \frac {\partial \varphi(t)} {\partial t} = \varphi '(t) \),
also
\( dx = \varphi '(t) dt \)
Setzen wir das alles in unser anfängliches Integral ein, erhalten wir
\( \int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \cdot \varphi '(t) dt \)
Und dies ist im Prinzip die Substitutionsregel.
Der Beweis nutzt diesen Zusammenhang direkt über die Nutzung der Kettenregel. Bei Integralen die nur über eine Variable integriert werden, haben wir immer diese einfache Darstellung des totalen Differentials, deshalb hat sich denke ich diese Konvention eingebürgert den Ausdruck als Bruch zu lesen.
Grüße Christian ─ christian_strack 18.09.2019 um 15:39