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Hallo,
bei der Divison von zwei komplexen Zahlen in der algebraischen Form (also in der Form \( a+bi \)) bekommen wir ein Problem. Und zwar können wir so einen Bruch nicht weiter zusammenfassen, da wir im Nenner eine Summe stehen haben. Deshalb bedient man sich einem Trick. Wir erweitern den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenner, da auf diese weise der Nenner reell wird und wir somit keine Summe mehr im Nenner haben. Damit können wir dann weiter rechnen.
Als Beispiel deine Division:
$$ \frac { 8+6i} {-2+2i} = \frac {(8+6i)(-2-2i)} {(-2+2i)(-2-2i)} = \frac {-16 - 16i -12 -12i} {4 + 4i - 4i -4i^2} = \frac {-28-28i} {4-4i^2} $$
Da \( i^2 = -1 \) gilt, erhalten wir:
$$ = \frac {-28-28i} {4-4i^2} = \frac {-28-28i} {4+4} = \frac {-28-28i} 8 = - \frac 7 2 - \frac 7 2 i $$
(Deine Lösung \( \frac 5 2 \cdot \sqrt{2} \) stimmt nicht, ist die aus einer Musterlösung?)
Bei der Berechnung des Winkels (Arguments) muss man aufpassen. Die Umrechnungsformel die du angegeben hast stimmt nur für einen positiven Realteil. Das liegt daran, dass der Arkustangens nur in einem Intervall von \( - \pi \) bis \( \pi \) definiert ist. Da der Winkel von der positiven x-Achse aus berechnet wird, bedeutet das, dass die komplexe Zahl im 1. oder im 4. Quadranten liegen muss. Ansonsten benötigt man eine andere Formel. Schau mal hier rein. Wenn du dazu noch weitere Fragen hast, dann melde dich gerne nochmal.
Du scheinst aber die Anpassung zu nutzen. Bei negativen Real- und Imaginärteil, nutzt man
$$ \varphi = \arctan(\frac b a ) - \pi $$
Da du aber im ersten Teil einen Rechenfehler gemacht hast, ist hier auch leider ein falscher Winkel gegeben. Kommst du auf den richtigen?
Genau fürs potenzieren bietet sich die Polardarstellung an. Da die Multiplikation von Summen doch sehr aufwendig werden kann. Klappt das mit dem umformen und dem potenzieren? :)
Zur zweiten Frage:
Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihre Länge vom Ursprung ausgehend. Die algebraische Form (\(a+bi \)) arbeitet mit dem Koordinatensystem wie wir es auch in der Schule das erste mal kennen lernen. Die Polarkoordinaten arbeiten mit dem Abstand vom Ursprung und einem Winkel (dem Argument). Dadurch können wir (außer der Zahl \(0\)) alle Zahlen ebenfalls eindeutig beschreiben. Deshalb benötigt man für viele Berechnungen den Betrag einer komplexen Zahl. Der Betrag kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
$$ \vert a+ b i \vert = \sqrt{a^2+ b^2} $$
Nun muss aber deine komplexe Zahl noch in die algebraische Form gebracht werden. Dafür musst du aber wissen was \( \sqrt{i} \) ist.
Das Wurzelziehen muss man in Polarform machen. Für das Potenzieren gilt:
$$ (a+bi)^n = (r\cdot e^{i (\varphi} +2k\pi))^n = r^n \cdot e^{i (\varphi +2k\pi) n} $$
Das \(2k\pi\) haben wir da stehen, da wir bei einer Drehung um \( 2\pi \) uns immer einmal im Kreis drehen. Da beim Potenzieren \(n \) ein natürliche Zahl ist, können wir das weglassen und man kann sich
$$ (a+bi)^n = r^n \cdot e^{i \varphi n } $$
merken. Das Radizieren verläuft relativ ähnlich ab. Es gilt
$$ \sqrt[n]{a+bi} = \sqrt[n]{r\cdot e^{i (\varphi +2k\pi)}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \frac {\varphi + 2k\pi} n} $$
Jetzt kannst du für \( k \) die Zahlen von \( 0 \) bis \( n-1 \) einsetzen und erhälst jedes mal eine andere Lösung. Für \( k=n \) erhälst du eine Lösung die wir bereits haben (nämlich die für \(0 \)), da wir uns ab hier wieder einmal im Kreis gedreht haben.
Damit folgt, das die n-te Wurzel einer komplexen Zahl genau \( n \) Lösungen hat.
Ich hoffe ich konnte deine Fragen soweit klären. Einiges ist von der Theorie natürlich etwas komplexer als ich es hier zusammengefasst habe, aber ich hoffe es gibt dir ein Gefühl dafür wie mit komplexen Zahlen zu rechnen ist.
Wenn du noch eine Frage hast, dann melde dich gerne nochmal.
Wenn du alles durchgerechnet hast, gucke ich auch gerne nochmal über deine Lösungen drüber um zu gucken ob alles verstanden wurde :)
Grüße Christian
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Das hilft mir nur leider nichts -> was ist der Betrag der Wurzel, wie errechnet man sich diesen, wie errechnet man die Argumente der Wurzel, bin am Verzweifeln :( ─ infomarvin 29.09.2020 um 20:48
Noch zum Winkel. Da habe ich auch ausversehen das Intervall \( (-\pi, \pi) \) angegeben. Das stimmt auch nicht ganz. Der Arcustangens ist auf dem Intervall \( (- \frac \pi 2 , \frac \pi 2 ) \) definiert. Ich hätte die Antwort nicht so schnell runterschreiben sollen. Das tut mir Leid.
Der Arkustangens ist nur auf diesem Intervall definiert, da wir eine Eindeutigkeit brauchen um eine Funktion umzukehren. Das ist eben nur in einem Intervall der Länge \( \pi \) gegeben. Also für eine halbe Umdrehung. Wie Mikn schon richtig sagt, kann ma manchmal auch das Argument der komplexen Zahlen für das Intervall \( [0, 2\pi ) \) definieren. Dann bezieht man sich auf den Arkustangens als Funktion auf dem Intervall \( (0, \pi ) \).
Um jetzt aber die gesamte Umdrehung zu erhalten, nutzen wir diese Formeln. Wir messen den Winkel nun einfach von der negativen x-Achse und packen eine halbe Umdrehung auf den Wert drauf (\(+\pi\)) wenn wir im 2ten Quadranten sind bzw ziehen eine halbe Umdrehung ab (\(-\pi\)) wenn wir im 3ten Quadranten sind. Dadurch landen wir dann auch in dem gewünschten Intervall \((- \pi, \pi] \).
Aber das ist alles Theorie und musst du im Detail nicht wissen. Wollte es dir nur einmal erklären, damit du ein kleines Gefühl für die Formel erhälst. Für Klausuren muss man die Umrechnung leider meistens auswendig lernen (oder ihr habt ne Formelsammlung).
Dein Winkel stimmt aber: \( \arctan(7)- \pi \)
Es gibt die sogenannte Eulersche Formel:
$$ \cos(x) + i \sin(x) = e^{ix} \Rightarrow r(\cos(x) + i \sin(x)) = re^{ix} $$
mit dieser Gleichung lässt sich eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten (bzw. trigonometrischer Form) in die sogennante Exponentialform umwandeln.
Wie wir bei der Divison in algebraischer Form gesehen haben, haben wir Probleme wenn wir mit Summen rechnen müssen. In der trigonometrischen Form haben wir aber wieder eine Summe. Deshalb gehen wir noch einen Schritt weiter und formen die komplexen Zahlen in die Exponentialform um.
Gucken wir uns das einmal an deiner Division an. Die Divison ergibt
$$ z = - \frac 1 2 - \frac 72 i $$
Mit \( \varphi = \arctan(7) - \pi \approx -1{,}71 \) und \( r = \frac 5 {\sqrt{2}} \) führt das zu der trigonometrischen Form
$$ z = \frac 5 {\sqrt{2}} ( \cos(-1{,}71) + i \sin(- 1{,}71) ) $$
Wenn wir diese Zahl nun potenzieren würden, würden wir wieder Probleme bekommen. Du kannst ja mal
$$ ( \cos(-1{,}71) + i \sin(1{,}71))^5$$
ausrechnen. Das wird absolut keinen Spaß machen ;)
Deshalb nutzen wir die Exponentialform
$$ \frac 5 {\sqrt{2}} (\cos(-1{,}71 + i \sin(-1{,}71)) = \frac 5 {\sqrt{2}} e^{-1{,}71 i} $$
Wenn wir diese Zahl nun potenzieren, haben wir damit gar keine Probleme mehr.
$$ (\frac 5 {\sqrt{2}} e^{-1{,}71 i} )^5 = \frac {5^5} {2^{\frac 52}} e^{-1{,}71 \cdot 5 \cdot i} $$
Die Formel von de Moivre kommt übrigens aus dieser Exponentialform.
Wenn ihr aber die Exponentialform noch nicht nutzen dürft, kann man ein Äquivalent der Formel von de Moivre auch für das Radizieren erstellen.
Da
$$ \cos(x) + i \sin(x) = e^{ix} $$
gilt, gilt auch
$$ e^{i\frac {\varphi + 2k\pi} n} = \cos(\frac {\varphi + 2k\pi} n) + i \sin(\frac {\varphi + 2k\pi} n ) $$
Also gilt ganz allgemein mit \( r \in \mathbb{R} \)
$$ z^r = |z|^r \cdot ( \cos( r \cdot (\varphi + 2k\pi)) + i \sin( r \cdot (\varphi + 2k\pi)) $$
Fürs radiziern ist nun \( r \) ein Bruch und du hast die obige Formel :)
$$ z^3 = 3^{\frac 1 3} + i $$
Wir wollen wissen was \( z \) ist. Dafür bestimmen wir zuersts den Betrag von \( z^3 \). Das ergibt
$$ |z^3| = \sqrt{\sqrt[3]{3} + 1} \approx 1{,}56$$
Dann brauchen wir den Winkel. Da beide Teile positiv sind, gilt
$$ \varphi = \arctan(\frac 1{\sqrt[3]{3}}) \approx 0{,}61 $$
damit haben wir die trigonometische Form
$$ z^3 = 1{,}56 (\cos(0{,}61) + i \sin(0{,}61)) $$
Um nun \( z \) zu erhalten, ziehen wir die dritte Wurzel
$$ z = \sqrt[3]{1{,}56} ( \cos(\frac {0{,}61 + 2k\pi} 3) + i \sin( \frac {0{,}61 + 2k\pi} 3 ) $$
Wenn du jetzt \( k=0 \), \( k=1 \) und \( k=2 \) setzt, erhälst du die 3 komplexen Zahlen die in der dritten Potenz \( \sqrt[3]{3} + i \) ergeben.
Kannst du nun \( \sqrt[3]{4} \) berechnen? ─ christian_strack 30.09.2020 um 12:17
Also kurz und bündig: Tut mir leid, dass ich dir nicht gleich geantwortet habe -das gehört sich, vor allem, wenn sich jemand so viel Mühe gibt wie du, also nochmal vielen herzlichen Dank - so macht Mathe Spaß :) ─ infomarvin 02.10.2020 um 19:33
So macht mir auch das Erklären am meisten Spaß. ;)Deshalb nimm dir ruhig die Zeit das alles zu verinnerlichen und melde dich falls du noch weitere Rückfragen hast. Ich sehe das ja dann als Benchrichtigung.
Ich bin jetzt erstmal auf einem Geburtstag. Wünsche ein schönes Wochenende :)
Ach und gut zu wissen das die Aktivierungsmail nicht raus geht. Ich werde das weiter geben. ─ christian_strack 02.10.2020 um 19:43
1. Hat man z.B. eine Darstellung: $$z3 = 15^{1/4} + 2 i $$=> $$ (15^{1/4} + 2)^{1/2}$$ , was aber nicht ganz korrespondiert mit einem Beispiel aus den Übungen: $$1/2 * 3^{1/3} - 1/2$$, bei dem der Betrag 1 ist => auf den komme ich, wenn ich rechne $$(1/2 * 3 - 1 / 2 )^{1/2}$$, dann müsste es aber doch lauten: $$(1/2) * (3)^{1/3} - (1/2))^{1/2}$$, wenn ich die Schritte genauso Umsetze?
2. Beispiel: $$z_3: 4 => 4^{1/2}$$ = 2 wäre das? Sagen wir: z_3 = $$4 + 5i$$ => (ohne Wurzelexponent, da ich mir diesbezüglich leider unsicher bin :D) -> z3 => $$( 4 + 5 ) ^ {1/2 } = 3 =r , der Betrag$$
2.1. Winkel : arctan( (5GK) / (4AK) => <= Pi, daher nicht Minus Pi ) = 51,34GRAD * (Pi / 180) = 0,896 rad
=> $$3^{1/3} * (cos ((PHI (0,896) + 0/1/2 *2* Pi / (3) + sin (.... ) ) => {1,45; 1,50; 1,55 }$$ - > und da ist glaub ich irgendwo ein Fehler drinnen bei mir das wären: {84,8GRAD; 85,94GRAD; 88GRAD}
3. Also Betrag habe ich soweit verstanden, vom Ausdruck die 2. Wurzel ziehen? / Leider funktionierts mit der Formel aus irgendeinem Grund nicht, bei $$1/2 * 3^{1/3} - 1/2$$ (Beispiel von den Übungen) ist eben das Problem, das die Wurzeln: {11/18 Pi; 23/18 Pi; 35/18 Pi) sind => ich weiß wie man den Betrag errechnet, ich weiß wie man es theoretisch ausrechnet, aber bei dem z.B. ist die Aufteilung dann: {110GRAD; 230GRAD; 350GRAD} - also sind es immer 1/3 v. einer ganzen Umdrehung also 120 Grad oder 2,094RAD, wie man eben auf diese 11/18 Pi kommt, mit der gegeben Form, das ist leider etwas, auf das komme ich alleine nicht drauf - ich würde dich bitten, sofern es für dich keine allzu großen Umstände macht, mir diese beiden Unklarheiten (Lösungsweg, Übungslösungsweg - Verschiedenheit und wie man eben auf diese Darstellung kommt BITTE :) )
Edit:
Ich würde mir ja in dem Fall den Betrag v. 1 ausrechnen: (irrelevant) (cos ( Pi + k * 2 Pi) / (3) + i (Pi + k * 2 Pi)/ (3) ) , diejenige Formel steht auch im Angleichskurs Skriptum (und deine) - und mit der kämpfe ich schon seit Tagen, weil ich keinen Plan habe wie man z.B. von der Dritten Wurzel die im Satz von Moivre Dividierd wird, aufeinmal / 18 entsteht, wenn du mir das noch erklären könntest wäre ich dir wirklich sehr sehr dankbar :) - Danke für alles bis jetzt :)
Edit 2 : den Betrag einer Wurzeldarstellung müsste ich aber auch bekommen, wenn ich r direkt ausrechne, indem ich bei meinem Beispiel: ((1/2 * sqrt ( 3 ) )^(2) + (1/2)^(2) )) ^(1/2) rechne, also r , über den Pythagoras oder? (Jetzt bin ich noch auf etwas draufgekommen, nach längerem Grübeln): 3^(1/3)*1/3 - 1 /3 => arctan(-1/3/ 3^(1/3) * 1/3 ) = rad= -0,012 ; rad + k * 2 Pi => L{ -0,004; 2,09; 4;184) => {-0,229GRAD; 119,75GRAD; 239,72 GRAD} Also das würde doch passen ja :) wie das mit dem vorigen Beispiel funktioniert und den Betrag Verstehe ich aber immer noch nicht ganz :D -> und was würde es bringen, die Polarform auszurechnen, so wie ich es vorher gemacht habe um alle |z| zu erfassen also r * (cos () + sin () ) auszurechnen, was erhält man dann? So und das wären dann noch die letzten Umstimmigkeiten, sonst 100% tuto bene :D
{#LatexAnfänger :D }
─ infomarvin 02.10.2020 um 23:06
$$ |z^3 | = \sqrt{(15^{\frac 14 })^2 + 2^2} = \sqrt{ \sqrt{15} + 4} $$
Ganz wichtig dabei, dass ist der Betrag von \( z^3 \) und nicht von \( z \).
Der Betrag einer rein reellen Zahl ist der Betrag der Zahl wie wir ihn von früher kennen. Da bei der Zahl der Imaginärteil Null ist, erhält man
$$ | \frac 1 2 \cdot 3^{\frac 13 } - \frac 1 2 | = \sqrt{(\frac 1 2 \cdot 3^{\frac 1 3 } - \frac 12 )^2 + 0^2} = \frac 1 2 (3^{\frac 13 } -1) $$
Das ist aber nur \( 1 \), ohne den Exponenten von \( 3 \).
Nochmal von der anderen Seite. Nehmen wir mal eine rein imaginäre komplexe Zahl
$$ z = 3i $$
dann ist der Betrag
$$ |z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 $$
2) Du vergisst hier, dass unter dem Betrag real- und imaginärteil nochmal quadriert werden. Also gilt für
$$ z= 4 $$
dann
$$ |z| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{4^2} = 4 $$
Und von der Zahl
$$ w^3 = 4+5i $$
ist der Betrag
$$ |w^3| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} = 6{,}\ldots $$
2.1 du willst also von
$$ w^3 = 4+5i $$
die dritte Wurzel (also \( w\)) bestimmen. Wir passen den Betrag an
$$ w_k = \sqrt[6]{41} ( \cos( \frac {0{,}896 + 2k\pi} 3) + i \sin( \frac { 0{,}896 + 2k\pi} 3)) $$
Du erhälst jetzt für \( k=0,1,2 \) jeweils eine Lösung.
3) Hier nochmal ganz deutlich:
$$ z = a+bi \Rightarrow |z| = \sqrt{a^2 + b^2 } $$
man darf die Quadrate des Real- und Imaginärteils nicht vergessen ;)
Bei deinen Winkeln bin ich mir etwas unsicher. Bist du sicher dass die betrachtete komplexe Zahl vielleicht
$$ z = \frac 1 2 3^{\frac 1 3} - \frac 1 2 i $$
ist? Oder ist es wirklich eine rein reale Zahl? Oder sollt ihr vielleicht eher
$$ \sqrt[3]{\frac 1 2 \cdot \sqrt[3]{3} - \frac 1 2} $$
bestimmen? Habe jetzt auch mal alle Lösungen von \( \sqrt[3]{3} \) bestimmt und danach den Ausdruck weiter zusammengefasst. Komme aber nicht auf die angegebene Lösung.
Vielleicht willst du einmal die ganze Aufgabe hochladen. Dann kann ich das nachempfinden wonach wirklich gefragt ist.
Die 18tel entstehen vielleicht aus einer Tabelle mit möglichen Winkeln. Ein Taschenrechner wirft leider selten ein Ergenis mit \( \pi \) aus, deshab hat man immer so krumme Zahlen :) ─ christian_strack 05.10.2020 um 14:07
zuerst einmal vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort, ohne derer -bzw. dieses Forums, wäre es schwer die Zusammenhänge im Allgemeinen zu verstehen. Komme aus einer berufsbildenden kaufmännischen Schule und fange an Wirtschaftsinformatik zu studieren. Schulisch begründet Defizite sollten grundsätzlich durch das gekaufte Sript (angeboten von der UNI), beseitigt werden. - Eine Formel wie im letzten Abschnitt habe ich aber tatsächlich noch nie gesehen, was besonders bei den Themen Vektoren und komplexe Zahlen ein Problem ist - da diese beide schulisch nicht erfasst worden sind. Nichtsdestotrotz, möchte ich gerne das fehlende Wissen, so gut es halt geht, zumindest zum größten Teil nachlernen.
***-Teil 1 der Antwort: (+6i*-2i= -12i^(2) ^= -12 * -1 = ist das nicht 12 ?
=> d.h. -(4/8) - (28/4)*i = z (ohne Umformen)
(-(4/8)^(1/2)+ (-(28/4)^(2)))^(1/2) ergibt bei mir: 3,535... was der Lösung: 5 / 2 * 2^(1/2), also der Musterlösung entspricht, also Danke schon mal :) - Fraglich nur, bzw. bedenlich, dass man alles ohne TR lösen wollte => wie soll man auf 5/2 * 2^(1/2) kommen, aber egal, soll nicht mein Problem sein, momentan, hauptsache Verstehen :D
**Teil 2: (Winkel)
Also in dem Fall wäre das: arctan((-7/2))/(-1/2))+ Pi, weil Realteil < 0 => 2./3. Quadrant? (Sonst gilt: wenn Realteil positiv, kein + Pi, wenn Realteil negativ, + Pi (einer Halbumdrehung eines Kreises? )
**Teil 3 und da steh ich leider komplett an
ist das komplex Wurzelziehen v.a. dein Ausdruck mit Phi im Exponenten, diese Formel, habe ich mein Leben noch nicht gesehen :D
Jetzt aktuell zu einem Beispiel:
z^(3) = 3^(1/3) + i
(1) Geben Sie den Betrag an: 2^(1/3) Ich habe keine Ahnung
, wie man von der Darstellung dazu kommt den Betrag einer Wurzelkomplexfunktion zu berechnen? Die von dir gegebene Lösung bezieht sich doch auf den Satz von Moivre, bei dem man z.B. (4-8i)^(5) hat, dieses nach r und Phi umrechnet, dann r exponentiert mit ^(5) und die Wurzelargumente im Cos() und Sin() mit 5 multipliziert?
(2) Geben Sie die drei Wurzelarguente an: In dem Fall: {-18/11 * Pi , 1 /18 * Pi , 13 / 18 * Pi} - wäre hierbei die Lösung - und da steh ich momentan komplett an
Weiters wäre mir bezüglich der komplexen Zahlen noch folgendes Unklar (wäre dir über eine Beantwortung dankbar, aber muss ja nicht sein ;) )
(1) Berechnen Sie den Ausdruck: 1/ i^(16) + 1/ i^(8), was passiert wenn Gerade / ungerade
(2) z = 2 - 6 i UND w = 2 - 2i , daraus soll z^(2) + iw (mit Strich darüber gerechnet werden) - ich habe keine Ahnung, was iw bedeutet, dann gibt es noch so Dinge wie i* (OHNE was dabei) => keine Ahnung, was da gemeint ist
Wie auch immer, ich bedanke mich herzlichst für deine ausführliche Antwort und hoffe du kannst mir noch kurz helfen :) - bzgl.: Wurzelziehen häng ich momentan nur an cos(Pi + k * 2 Pi / 3 => wenn k = 0 => Pi / 3 => 3 Pi ; 5 Pi, sost weiß ich darüber nichts), die kryptische Formel, versteh ich leider überhaupt nicht :D ─ infomarvin 29.09.2020 um 20:44