Fehlerrechnung mit konkreten werten

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Ich habe zum thema fehlerrechnung folgende Frage. 
in einem Dreieck seien die Seite a und der winkel alpha genau bekannt. Den winkel beta muss ich messen. Ich soll herausfinden wie sich der messfehler von beta auf die Seite b auswirkt.

ich stelle also b als funktion von beta dar.

(sinussatz) 

f(beta) = a/sin(alpha)*sin(beta)

ich leite das ab um den absoluten fehler zu erhalten und bekomme 

 

df= a/sin(alpha)*cos(beta) dbeta

 

meine Frage ist nun was hilft mir das in der praxis. Ich habe bemerkt, dass wenn der gemessene winkel beta um 90 grad ist der Fehler sehr klein ist,  da ja cos90 = 0 

aber was wenn der winkel beta z.b 30 grad (gemessen) ist 

dann kann ich den absoluten Fehler ja nicht bestimmen, da ich das deltabeta nicht weiss. 
das weiss ich ja nur wenn ich den richtigen wert vom winkel beta kenne.

Mache ich da einen überlegungsfehler oder stimmt das?

 

gefragt vor 4 Tagen, 5 Stunden
s
sebii2,
Punkte: 16

 
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1 Antwort
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Deine Überlegungen sind alle völlig richtig. Konkrete (in Zahlen) Auswirkungen kann man erst beurteilen, wenn man die beteiligten Werte kennt. Richtig ist auch, dass bei beta=90 Grad die Auswirkungen gering sind. Am größten wären sie bei beta nahe bei 0 oder nahe bei 180 Grad (also 179 Grad oder so, im Dreieck kann ja nicht mehr als 180 Grad auftreten). Der Einfluss von beta ist aber generell begrenzt wg da cos beta ja in [-1,1] liegt.

Aber auch a und alpha spielen eine Rolle. Bei alpha nahe bei 0 wirkt sich ein Fehler in beta sehr stark aus. Bei großem a auch.

Mehr kann man ohne Zahlen nicht sagen.

geantwortet vor 3 Tagen, 23 Stunden
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 6.99K
 

Also ich habe mal ein beispiel versucht zu machen.
Mit
a=5
Alpha=50 grad
dbeta=3
Beta (genau)60 grad
Beta gemessen 57 grad

Wenn ich jetzt die näherungs formel verwende stelle ich fest, dass es eine riese abweichug gibt.

Also erhalte ich für

Delta f = 0.17 was ja etwa sinn macht.

Mit dem differential erhalte ich jedoch eine Zahl grösser als 10 wieso ist das so?

Ich kann doch die Formel verwenden:

f(beta + ∆beta) - f(beta) = f‘(beta) d beta

Also für die linke seite erhalte ich 0.17 die rechte seite ist dann krass daneben
  ─   sebii2, vor 3 Tagen, 22 Stunden

Da ist folgendes zu beachten, was sehr oft übersehen wird: sin'=cos gilt nur, wenn man im Bogenmaß rechnet. Wenn man in Grad rechnet, nimmt man (ohne dass man es merkt), eine andere Funktion, die auch sind genannt wird (sin in degrees). Wenn also sin der sinus im Bogenmaß ist, und sind der sinus in Grad, dann gilt ja: sind(x)=sin(x*pi/180). Also bei der Ableitung dann: sind'(x)=cos(x*pi/180)*pi/180=cosd(x)*pi/180. Wenn man Deine Näherungsformel damit korrigiert, kommt das wirklich supergut hin!   ─   mikn, vor 3 Tagen, 21 Stunden

Vielen dank. Das wusste ich nicht.   ─   sebii2, vor 3 Tagen, 19 Stunden
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