Taylorpolynom und Approximationsfehler

Aufrufe: 1322     Aktiv: 14.01.2021 um 17:58
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Schönen guten Abend,

ich habe Probleme den Fehler hier korrekt abzuschätzen.

Ich habe bisher die Ableitungen und Polynome bestimmte, aber ich habe überhaupt keine Ahnung

wie man bei einem Approximationsfehler ohne vorgegebenes Intervall vorgeht.

Meine Idee wäre folgendes Intervall [0,1/2[  ,jedoch sehen die Ergebnis alles andere als richtig aus.

Könnte mir vielleicht jemand zeigen, wie genau man da korrekt vorgeht?

 

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Das Intervall ist doch eindeutig angegeben: (-1/2,1/2). Wenn deine Rechnung unsicher ist, lade sie hier hoch, dann schauen wir mal.

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Tut mir leid ich weiß nicht genau, ob und wie man hier korrekt den Latex Code einfügt, deshalb hab ich es erstmal so aufgeschrieben.
3. Ableitung von f = 3/8*(2+x)^(-5/2)
Approximationsfehler = 1/16*x^(3)*(2+ξ)^(-5/2)
In der Theorie soll ich geeignete Werte aus dem Intervall (-1/2,1/2) für x und xi wählen, damit der Fehler möglichst groß wird.
Das wäre also jetzt für mein Ergebnis x=0,5 und xi=-0,5. Laut der Aufgabenstellung ist |x| < 1/2, darf ich dann 1/2 eigentlich noch einsetzen bzw liegt es noch im Intervall?   ─   wurzelbehandlung 14.01.2021 um 16:07

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Der Satz von Taylor sagt ja \(f(x)-T_0^2f(x)=\frac{1}{6}f'''(\xi)x^3\) mit \(\xi\) zwischen \(0\) und \(x\). Rechts steht der Fehler, aber mit unbekanntem \(\xi\). Abschätzen heißt jetzt, \(C:=\sup_{|\xi|\le1/2}|f'''(\xi)|\) zu berechnen oder nach oben abzuschätzen und dann oben einzusetzen: \[|f(x)-T_0^2f(x)|\le\frac{C}{6}|x|^3\quad\text{für }|x|\le\frac12.\]

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