Gib eine Gerade g an, die ganz in E liegt.

Aufrufe: 982     Aktiv: 18.04.2020 um 15:05
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Kuckguck! :-)

Meine Gedanken:

- Die Geradengleichung eingesetzt in die Ebenengleichung müsste ein wahres Ergebnis herausgeben.
- von Koordinatenform in Parameterform umrechnen und den selben Stütz + einen Richtungsvektor als Geradengleichung aufstellen.

 

Die Lösung sieht leider völlig anders aus und ich verstehe diese nicht:

 

War mein Ansatz falsch? Was wurde in der Lösung gemacht?

 

 

 

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Schüler, Punkte: 73

 
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Wenn es nur darum geht, eine Gerade anzugeben, würde ich wie folgt vorgehen:

Entweder würde ich mir zwei Punkte in der Ebene suchen (z.B. Spurpunkte) und dann die Gerade durch diese zwei Punkte aufstellen.

Oder ich würde mir einen Punkt in der Ebene suchen, und einen Vektor, der orthogonal zum Normalenvektor ist, als Richtungsvektor nehmen.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
x1 = 2
x3 = 1

Dann wird die Ebenengleichung wahr, also 0 = 0. Kann ich als Ortsvektor der Geradengleichung also (2 | 0 | 1) nehmen?
Wenn ich nun einfach die 3 Koordinaten verdoppele (4 | 0 | 2) und diesen Punkt als Richtungsvektor der Geraden nehme, stimmt das dann?
g: x = (2|0|1) + r*(4|0|2)   ─   ellisdi 18.04.2020 um 12:28
Der Punkt für den Stützvektor passt. Der Richtungsvektor passt nicht. Er ist nicht orthogonal zum Normalenvektor (2|0|-1).
Ortsvektoren mit einer Zahl zu multiplizieren, macht in aller Regel keinen Sinn.   ─   digamma 18.04.2020 um 12:38
Ortsvektor (2|0|1)
Richtungsvektor (3|0|3)
g: x= (2|0|1) + r*(3|0|3)

? :-)   ─   ellisdi 18.04.2020 um 12:53
Nein, (3|0|3) ist nicht orthogonal zum Normalenvektor (2|0|-1), also kein möglicher Richtungsvektor.   ─   digamma 18.04.2020 um 12:59
Das Skalarprodukt vom N-Vektor der Ebene und einem möglichen Richtungsvektor muss also 0 sein.
Wie finde ich nun die drei Parameter eines möglichen Richtungsvektors heraus ohne die Ebenengleichung in Parameterform umzuwandeln?   ─   ellisdi 18.04.2020 um 14:11
Vieleicht verwendest du doch die andere Methode, das heißt, du suchst einen zweiten Punkt auf der Ebene. Der Richtungsvektor ist dann der Verbindungsvektor der beiden Punkte.
Einen Punkt kannst du immer dadurch finden, dass du für zwei Koordinaten etwas beliebiges einsetzt (zum Beispiel 0) und dann nach der dritten Koordinate auflöst. Wenn du hier zum Beispiel für `x_1` und `x_2` jeweils 0 einsetzt (wobei `x_2` gar nicht vokommt), dann erhältst du `x_3 = -3`. Also ist (0|0|-3) ein Punkt auf der Ebene. (Genauer gesagt ist das der Spurpunkt `S_3`, der Schnittpunkt der Ebene mit der `x_3`-Achse.)   ─   digamma 18.04.2020 um 14:19
Ahhh, ich verstehe!

(0|0|-3) ist \(S3\)
(1,5|0|0) ist \(S1\)

Vektor \(s3\) minus Vektor \(s1\) ist nun der Richtungsvektor der Geraden, die auf der Ebene liegt, also: (-1,5|0|-3) mit dem Ortsvektor \(s1\).

In vollendeter Perfektion:

g: x = (1,5|0|0) + r (-1,5|0|-3)

wie auch immer man die Parameter untereinander schreibt.   ─   ellisdi 18.04.2020 um 15:02

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Hallo, in der Aufgabe ist nur gefordert, eine Gerade anzugeben, d.h. du musst nicht auf diese Lösung kommen.

Deine Idee ist gut und sollte funktionieren.

Ich hätte als Lösung z. B. \( x_1=r, x_2=0\) und \(x_3=r-3\) heraus.

Dann hätte man in Parameterform:

\(g:\vec x=\begin{pmatrix} 0\\0\\-3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}\)

Um auf die allgemeine Lösung zu kommen, sei \(  x_3=c+r\cdot f\). Eingesetzt und nach \(x_1\) aufgelöst, ergibt das:

\(x_1=\frac{3+c}{2}+r\cdot\frac{f}{2}\). Da die Gleichung für jede Wahl von \(x_2\) wahr ist, bezeichne \(x_2=b+r\cdot e\).

viele Grüße

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Student, Punkte: 4.59K

 
Was genau machst Du, wenn Du bspw. für x1 = r einsetzt?   ─   ellisdi 17.04.2020 um 18:40
Das ist r ist der Faktor für den Richtungsvektor. Wenn die Gerade in eine Richtung zeigt, dann ist der Richtungsvektor auf keinen Fall \(r \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}\). Das heißt r muss mindestens einmal vorkommen, damit die Gerade in eine Richtung zeigt.

Man kann sich für \(x_1, x_2\) und \( x_3 \) also beliebige Werte aussuchen, für erstens die Koordinatengleichung erfüllt ist und zweitens mindestens ein r vorkommt.   ─   holly 17.04.2020 um 19:27
Holly, deine Lösung kann nicht stimmen. Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sein. Das ist bei `((1),(0),(1))` nicht der Fall. Ist wahrscheinlich nur ein kleiner Rechenfehler. Mit `x_1 =r` und `x_2 = 0` bekommst du `x_3 = 2r -3` , also
`vec x = ((0),(0),(-3)) + r*((1),(0),(2))`.
Die Lösung aus dem Lösungsbuch ist auch falsch, da stimmt ein Vorzeichen nicht. Es muss `f/2` statt `(-f/2)` heißen. Das kommt bei hollys Rechnung auch raus.   ─   digamma 17.04.2020 um 20:17
oh ja, das habe ich gemeint, pardon!   ─   holly 17.04.2020 um 20:53

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In der Lösung ist also ein Fehler. Es muss f/2 sein und nicht -f/2.

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